Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar
x,yx, y ve zz ardışık tek doğal sayılar ve x<y<zx < y < z olmak üzere,
(1−2x)⋅(1−2y)⋅(1−2z)=1113 \left(1 - \frac{2}{x}\right) \cdot \left(1 - \frac{2}{y}\right) \cdot \left(1 - \frac{2}{z}\right) = \frac{11}{13}

eşitliği veriliyor.

Buna göre x+zx + z toplamı kaçtır?

  1. A
    34
  2. B
    72
  3. 74Answer
  4. D
    76
  5. E
    111

Answer

Doğru cevap 74'tür.
Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2 olduğu için y=x+2y=x+2 ve z=y+2z=y+2 eşitlikleri kullanılır. Bu sayede verilen çarpım ifadesindeki paylar ve paydalar birbirini sadeleştirir (teleskopik özellik). Geriye kalan x−2z=1113\frac{x-2}{z} = \frac{11}{13} denklemi çözüldüğünde x=35x=35 ve z=39z=39 bulunur. İstenen toplam 35+39=7435+39=74 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen çarpma işlemindeki parantez içlerini düzenle.
x−2x⋅y−2y⋅z−2z=1113\frac{x-2}{x} \cdot \frac{y-2}{y} \cdot \frac{z-2}{z} = \frac{11}{13}
Kesirli ifadelerle çarpma yapabilmek için payda eşitlemesi yapılır.
2
Ardışık tek sayıların özelliklerini (y=x+2y = x+2 ve z=y+2z = y+2) kullanarak payları sadeleştir.
y−2=xy-2 = x ve z−2=yz-2 = y olduğundan ifade:
x−2x⋅xy⋅yz=1113\frac{x-2}{x} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} = \frac{11}{13}
Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2'dir, bu ilişki sadeleştirme sağlar.
3
Çapraz sadeleştirmeleri yap ve denklemi kur.
x−2z=1113\frac{x-2}{z} = \frac{11}{13}
x ve y terimleri birbirini götürür.
4
zz yerine x+4x+4 yazarak denklemi çöz.
x−2x+4=1113⇒13(x−2)=11(x+4)⇒13x−26=11x+44⇒2x=70⇒x=35\frac{x-2}{x+4} = \frac{11}{13} \Rightarrow 13(x-2) = 11(x+4) \Rightarrow 13x - 26 = 11x + 44 \Rightarrow 2x = 70 \Rightarrow x = 35
Tek bilinmeyenli denklemden en küçük sayıyı bulmak için.
5
xx ve zz değerlerini bulup topla.
x=35x = 35 ise z=x+4=39z = x + 4 = 39. Toplam: 35+39=7435 + 39 = 74.
Soruda istenen nihai değerin hesaplanması.

Key Concept

Ardışık sayıların cebirsel temsili ve rasyonel denklemlerde sadeleştirme (teleskopik çarpım).

Hints

1
Parantez içindeki çıkarma işlemlerini yaparak paydaları eşitleyin.
2
Ardışık tek sayılar oldukları için yy yerine x+2x+2, zz yerine x+4x+4 yazmayı deneyin; payların sadeleştiğini göreceksiniz.
3
İşlemler sonucunda x−2z=1113\frac{x-2}{z} = \frac{11}{13} eşitliğini elde edeceksiniz. Burada zz yerine x+4x+4 yazarak xx'i bulun.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardan veya değer vererek gitmek mümkündür ancak sayılar büyük olduğu için zaman alıcı olabilir. x−2z=1113\frac{x-2}{z} = \frac{11}{13} oranından x−2x-2 sayısının 11'in katı olması gerektiği (x=13,24,35...x=13, 24, 35...) düşünülerek deneme yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic