Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

11’den nn’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı XX, 11’den n−2n-2’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı YY’dir.

X−Y=37X - Y = 37

olduğuna göre, nn değeri kaçtır?

  1. A
    17
  2. B
    18
  3. 19Answer
  4. D
    20
  5. E
    37

Answer

Verilen toplamlar arasındaki fark incelendiğinde nn değerinin 19 olduğu görülür.
11'den nn'ye kadar olan sayıların toplamı (XX) ile 11'den n−2n-2'ye kadar olan sayıların toplamı (YY) arasındaki fark, XX toplamında olup YY toplamında olmayan terimlerin toplamıdır. Bu terimler nn ve n−1n-1 sayılarıdır. Dolayısıyla n+(n−1)=37n + (n-1) = 37 eşitliğinden 2n=382n = 38 ve n=19n = 19 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
XX ve YY toplamlarını açık bir şekilde yazın.
X=1+2+⋯+(n−2)+(n−1)+nX = 1 + 2 + \dots + (n-2) + (n-1) + n ve Y=1+2+⋯+(n−2)Y = 1 + 2 + \dots + (n-2)
Hangi terimlerin ortak olduğunu ve hangilerinin farkı oluşturduğunu görmek için.
2
X−YX - Y farkını hesaplayın.
X−Y=(1+⋯+n)−(1+⋯+n−2)=(n−1)+nX - Y = (1 + \dots + n) - (1 + \dots + n-2) = (n-1) + n
YY toplamındaki tüm terimler XX içinde de yer aldığı için çıkarma işleminde birbirini götürür; geriye sadece XX toplamındaki son iki terim kalır.
3
nn değerini bulmak için elde edilen denklemi çözün.
(n−1)+n=37⇒2n−1=37⇒2n=38⇒n=19(n-1) + n = 37 \Rightarrow 2n - 1 = 37 \Rightarrow 2n = 38 \Rightarrow n = 19
Sözel olarak ifade edilen ilişkiyi matematiksel bir denkleme dökerek bilinmeyeni bulmak için.

Key Concept

Ardışık sayı toplamları arasındaki fark, ortak olmayan terimlerin toplamına eşittir.

Hints

1
XX toplamını 1+2+⋯+(n−2)+(n−1)+n1 + 2 + \dots + (n-2) + (n-1) + n şeklinde yazmayı deneyin.
2
XX ve YY arasındaki farkın hangi terimlerden kaynaklandığını belirleyin. Bu fark nn ve n−1n-1 terimleridir.
3
n+(n−1)=37n + (n-1) = 37 denklemini kurun ve nn için çözün.

Practice More

Ardışık tek ve çift sayıların toplam formülleri ile ilgili benzer fark sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Gauss toplam formülünü kullanarak X=n(n+1)2X = \frac{n(n+1)}{2} ve Y=(n−2)(n−1)2Y = \frac{(n-2)(n-1)}{2} yazabilirsiniz. Ardından n(n+1)−(n−2)(n−1)2=37\frac{n(n+1) - (n-2)(n-1)}{2} = 37 denklemini sadeleştirerek 2n−1=372n - 1 = 37 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic