Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar
aa, bb ve cc birer asal sayı olmak üzere,
a⋅b−a⋅c=2a2+15 a \cdot b - a \cdot c = 2a^2 + 15

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
  1. A
    16
  2. 18Answer
  3. C
    20
  4. D
    22
  5. E
    24

Answer

Doğru cevap 18'dir.
Denklem düzenlendiğinde b−c=2a+15/ab-c = 2a + 15/a elde edilir. aa asal sayısı 15'i bölmek zorunda olduğundan 3 veya 5 olabilir. a=5a=5 denendiğinde b=15b=15 çıkar ve bu asal değildir. a=3a=3 denendiğinde b=13b=13 ve c=2c=2 asalları bulunur. Toplamları 18'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi düzenle ve aa parantezine al.
a(b−c)=2a2+15a(b - c) = 2a^2 + 15
Ortak çarpan parantezine alarak bilinmeyenleri gruplandırmak gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafını aa sayısına bölerek b−cb-c ifadesini yalnız bırak.
b−c=2a2+15a=2a+15ab - c = \frac{2a^2 + 15}{a} = 2a + \frac{15}{a}
Tam sayı ve kesirli kısmı ayırarak aa sayısının alabileceği değerleri belirlemek için.
3
aa sayısının alabileceği asal değerleri belirle.
Sonucun tam sayı olması için aa, 15'i tam bölmelidir. aa asal olduğu için a∈{3,5}a \in \{3, 5\} olabilir.
Asal sayı tanımı ve bölünebilme kuralı gereği.
4
a=5a = 5 durumunu incele.
b−c=2(5)+155=10+3=13b - c = 2(5) + \frac{15}{5} = 10 + 3 = 13. İki asal sayının farkı tek sayı (13) ise biri çift (2) olmalıdır. c=2c=2 dersek b−2=13⇒b=15b-2=13 \Rightarrow b=15. Ancak 15 asal değildir.
Bu durum elenir.
5
a=3a = 3 durumunu incele.
b−c=2(3)+153=6+5=11b - c = 2(3) + \frac{15}{3} = 6 + 5 = 11. Fark tek sayı olduğundan c=2c=2 olmalıdır. b−2=11⇒b=13b-2=11 \Rightarrow b=13. 13 asaldır, bu durum geçerlidir.
Tüm şartlar (a, b, c asal) sağlandı.
6
Bulunan değerleri topla.
a+b+c=3+13+2=18a + b + c = 3 + 13 + 2 = 18
Soruda istenen toplamın hesabı.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özellikleri ve 'Çift Asal Sayı' (2) kuralı.

Hints

1
İfadeyi aa parantezine alarak a⋅(b−c)a \cdot (b - c) şeklinde yazmayı deneyin.
2
Eşitliğin her iki tarafını aa'ya bölünce b−c=2a+15ab-c = 2a + \frac{15}{a} elde edilir. aa sayısı 15'i bölmelidir.
3
bb ve cc asal sayılarının farkı tek bir sayı çıkıyorsa, bu sayılardan biri mutlaka çift asal sayı olan 2'dir.

Practice More

İki asal sayının toplamının veya farkının tek/çift olma durumlarını inceleyen sorular çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: aa'nın 2a² içeren bir ifadeyi bölmesi gerektiğinden küçük asallar (2, 3, 5) denenerek daha hızlı sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic