Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri
EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için,
[(A∖B)∪(B∖A)]′∩A [(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' \cap A
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A∩BA \cap BAnswer
  2. B
    A∖BA \setminus B
  3. C
    B∖AB \setminus A
  4. D
    AA
  5. E
    ∅\emptyset

Answer

İfadenin en sade hali A∩BA \cap B kümesidir.
Verilen ifadede köşeli parantez içi AA ve BB'nin simetrik farkıdır. Bunun tümleyeni alındığında, 'ya her ikisinde olan ya da hiçbirinde olmayan' elemanlar elde edilir. Bu küme AA ile kesiştirildiğinde, geriye sadece her ikisinde de olan elemanlar, yani kesişim kümesi (A∩BA \cap B) kalır.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki ifadeyi tanımla.
(A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) ifadesi AA ve BB kümelerinin simetrik farkıdır (sadece AA'da veya sadece BB'de olan elemanlar).
İşlem önceliğine göre önce en içteki parantez yorumlanır.
2
Simetrik farkın tümleyenini al.
[(A∖B)∪(B∖A)]′[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' ifadesi, simetrik farkın dışındaki bölgedir. Bu bölge, her iki kümede de olanlar (A∩BA \cap B) ile hiç birinde olmayanların (A′∩B′A' \cap B') birleşimidir.
Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan elemanları kapsar.
3
Elde edilen kümeyi AA ile kesiştir.
Bu birleşim kümesinin AA ile ortak olan kısmı sadece A∩BA \cap B bölgesidir. Çünkü (A′∩B′A' \cap B') kümesinin AA ile ortak elemanı yoktur.
Kesişim işlemi, her iki kümede de ortak bulunan elemanları seçer.

Key Concept

Kümelerde Simetrik Fark ve Tümleme

Hints

1
(A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) ifadesinin Venn şemasında nereleri taradığını düşünün.
2
Bu birleşim 'Simetrik Fark'tır. Tümleyeni alındığında geriye kesişim bölgesi ve her iki kümenin dışı kalır.
3
Elde ettiğiniz bölgeyi A kümesi ile kesiştirdiğinizde, A'nın dışında kalan kısımlar (evrenselin boşluğu) elenir, geriye sadece kesişim kalır.

Practice More

De Morgan kuralları kullanılarak yapılan benzer sadeleştirme sorularını inceleyin.

Alternative Method

Değer vererek çözme: A={1,2}A=\{1,2\}, B={2,3}B=\{2,3\}, E={1,2,3,4}E=\{1,2,3,4\} olsun. A∖B={1}A \setminus B=\{1\}, B∖A={3}B \setminus A=\{3\}. Birleşim {1,3}\{1,3\}. Tümleyeni {2,4}\{2,4\}. Bu kümenin AA ({1,2}\{1,2\}) ile kesişimi {2}\{2\} olur. {2}\{2\} kümesi A∩BA \cap B'dir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic