Examkin

Question

Difficulty: HardAlt Küme

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 11 veya 22 elemanı bulunur, ancak 33 elemanı bulunmaz?

  1. A
    8
  2. B
    16
  3. 24Answer
  4. D
    32
  5. E
    48

Answer

Doğru cevap 24'tür.
Soruda iki koşulun aynı anda sağlanması istenmektedir: (1) 3 elemanı bulunmayacak, (2) 1 veya 2 elemanlarından en az biri bulunacak. Öncelikle '3 bulunmaz' koşulu için 3'ü kümeden atarız; geriye {1,2,4,5,6}\{1, 2, 4, 5, 6\} olmak üzere 5 eleman kalır. Bu 5 elemanla yazılabilecek tüm alt kümelerin sayısı 25=322^5 = 32'dir. Bu 32 alt kümenin içinden, '1 veya 2 bulunur' koşulunu sağlamayanları (yani 1 ve 2'nin hiç bulunmadığı durumları) çıkarırız. 1 ve 2'yi de atarsak geriye {4,5,6}\{4, 5, 6\} kalır ve bunlarla 23=82^3 = 8 alt küme yazılabilir. Sonuç olarak, 32−8=2432 - 8 = 24 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
'3 elemanı bulunmaz' şartını sağlayan kümeyi belirle.
AA kümesinden 33 elemanını atarız. Geriye kalan küme A′={1,2,4,5,6}A' = \{1, 2, 4, 5, 6\} olur. Bu kümenin eleman sayısı n=5n=5'tir.
İstenmeyen eleman (3) kümeden çıkarılarak alt küme oluşumu sınırlandırılır.
2
A′A' kümesinin tüm alt kümelerinin sayısını hesapla.
25=322^5 = 32 tane alt küme vardır.
Bu sayı, içinde 3 bulunmayan tüm olası alt kümelerin sayısıdır.
3
'1 veya 2 bulunur' şartının tersini (tümleyenini) düşün.
Tersi: '1 ve 2'nin hiçbiri bulunmaz'. Yani A′A' kümesinden 1 ve 2'yi de çıkarırsak geriye {4,5,6}\{4, 5, 6\} kalır.
'Veya' bağlacını doğrudan hesaplamak yerine, tüm durumlardan 'hiçbiri' durumunu çıkarmak daha pratiktir.
4
İstenmeyen durum sayısını hesapla.
{4,5,6}\{4, 5, 6\} kümesinin alt küme sayısı 23=82^3 = 8'dir.
Bu 8 alt kümede ne 1, ne 2, ne de 3 vardır.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkar.
32−8=2432 - 8 = 24.
Geriye kalan 24 alt kümede 3 yoktur ve (1 veya 2'den en az biri) vardır.

Key Concept

Alt küme hesaplarında koşullu sayma ve tümleyen (complement) yöntemi.

Hints

1
Önce '3 elemanı bulunmaz' şartını sağlamak için 3'ü kümeden tamamen çıkarıp düşünün.
2
'1 veya 2 bulunur' şartını hesaplarken, tüm durumlardan '1 ve 2'nin hiç bulunmadığı' durumları çıkarmak daha kolaydır.
3
3'ün olmadığı 5 elemanlı kümenin toplam alt küme sayısından (32), içinde ne 1'in ne de 2'nin olduğu alt kümeleri (8) çıkarın.

Alternative Method

Kümelerle Birleşim Formülü: s(K1∪K2)=s(K1)+s(K2)−s(K1∩K2)s(K_1 \cup K_2) = s(K_1) + s(K_2) - s(K_1 \cap K_2). Burada K1K_1: 1'in olduğu (ve 3'ün olmadığı) kümeler (24=162^4=16), K2K_2: 2'nin olduğu (ve 3'ün olmadığı) kümeler (24=162^4=16). Kesişim: Her ikisinin olduğu kümeler (23=82^3=8). Sonuç: 16+16−8=2416 + 16 - 8 = 24.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Alt Küme

More questions from this topic