Examkin

Question

Difficulty: HardAlt Küme

Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında, alt küme sayısı 96 artmaktadır.

Buna göre, bu kümenin en çok 2 elemanlı kaç farklı alt kümesi vardır?

  1. A
    10
  2. B
    15
  3. 16Answer
  4. D
    26
  5. E
    32

Answer

Kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı 16'dır.
Soruda verilen bilgiye göre kümenin eleman sayısını bulup, ardından kombinasyon hesabı yapmamız gerekir. 2n+2−2n=962^{n+2} - 2^n = 96 denkleminden kümenin eleman sayısının n=5n=5 olduğu bulunur. 'En çok 2 elemanlı' ifadesi, eleman sayısı 0, 1 veya 2 olan alt kümelerin toplamını belirtir. Bu hesaplama (50)+(51)+(52)\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} işlemiyle 16 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin başlangıçtaki eleman sayısına nn diyelim. Eleman sayısı 2 artırıldığında yeni eleman sayısı n+2n+2 olur.
Başlangıç alt küme sayısı 2n2^n, yeni alt küme sayısı 2n+22^{n+2}.
Alt küme sayısı formülünün (2n2^n) tanımlanması.
2
Verilen artış miktarını kullanarak denklemi kuralım: 2n+2−2n=962^{n+2} - 2^n = 96.
2n(22−1)=96⇒2n⋅3=962^n(2^2 - 1) = 96 \Rightarrow 2^n \cdot 3 = 96.
Üslü ifadelerde ortak çarpan parantezine alma işlemi.
3
Denklemi çözerek nn değerini bulalım.
2n=32⇒n=52^n = 32 \Rightarrow n = 5.
Kümenin eleman sayısının tespiti.
4
n=5n=5 elemanlı bir kümenin 'en çok 2 elemanlı' alt kümelerini hesaplayalım (0, 1 veya 2 elemanlı).
(50)+(51)+(52)=1+5+10=16\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} = 1 + 5 + 10 = 16.
Kombinasyon formülü ile istenen alt küme sayılarının toplanması.

Key Concept

Alt Küme Sayısı Değişimi ve Kombinasyon

Hints

1
Önce kümenin eleman sayısını (nn) bulmalısınız. Alt küme sayısı formülünü (2n2^n) kullanarak, eleman sayısı 2 arttığında oluşan fark denklemini kurun.
2
2n+2−2n=962^{n+2} - 2^n = 96 denklemini çözmek için 2n2^n parantezine alın.
3
n=5n=5 bulduktan sonra, 'en çok 2 elemanlı' alt kümeler için (50)\binom{5}{0}, (51)\binom{5}{1} ve (52)\binom{5}{2} değerlerini toplayın.

Practice More

Benzer mantıkla 'en az 3 elemanlı alt küme sayısı' sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pascal üçgeninin 5. satırını (1, 5, 10, 10, 5, 1) yazarak ilk üç terimi toplayabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Alt Küme

More questions from this topic