Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜçgende Benzerlik

Bir harita mühendisi, ABCABC üçgeni şeklindeki bir araziyi, [AB][AB] kenarı üzerindeki DD ve [AC][AC] kenarı üzerindeki EE noktalarından geçen doğrusal bir hat ile iki bölgeye ayırmıştır. Yapılan ölçümlerde m(AED^)=m(ABC^)m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC}) olduğu ve ADEADE üçgensel bölgesinin alanının, BCEDBCED dörtgensel bölgesinin alanına oranının 421\frac{4}{21} olduğu belirlenmiştir. Arazide ∣AD∣+∣AE∣=140|AD| + |AE| = 140 metre ve ∣AB∣−∣AC∣=50|AB| - |AC| = 50 metre olduğuna göre, ∣DB∣|DB| uzunluğu kaç metredir?

  1. A
    70
  2. B
    100
  3. C
    120
  4. 140Answer
  5. E
    200

Answer

140 metre
Verilen açı eşitliği (m(AED^)=m(B^)m(\widehat{AED}) = m(\widehat{B})), üçgenlerin antiparallel bir kesimle benzer olduğunu gösterir (ΔADE∼ΔACB\Delta ADE \sim \Delta ACB). Alanlar oranı 425\frac{4}{25} olduğundan benzerlik oranı k=25k=\frac{2}{5} olur. Bu oran, çapraz kenarlar arasında (ADAD ile ACAC, AEAE ile ABAB) kurulmalıdır. Elde edilen denklem sisteminden ∣AB∣=200|AB|=200 ve ∣AD∣=60|AD|=60 bulunur, farkları olan ∣DB∣=140|DB|=140 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Benzerlik ilişkisini ve türünü belirle.
ΔADE\Delta ADE ve ΔACB\Delta ACB üçgenlerinde A^\widehat{A} ortak açı ve m(AED^)=m(ABC^)m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC}) olduğundan, A-A benzerlik teoremine göre ΔADE∼ΔACB\Delta ADE \sim \Delta ACB dir.
İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir ancak açıların sırası kenar oranları için kritiktir (Antiparalellik).
2
Alan oranından benzerlik oranını (kk) hesapla.
Alan(ADE)Alan(ABC)=4S4S+21S=425\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{4S}{4S + 21S} = \frac{4}{25}. Benzerlik oranı k=425=25k = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} tir.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2k^2). Toplam alan 4+21=254+21=25 birimdir.
3
Benzerlik oranını kenar uzunlukları ile ilişkilendir.
∣AD∣∣AC∣=∣AE∣∣AB∣=25\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2}{5}. Buradan ∣AC∣=52∣AD∣|AC| = \frac{5}{2}|AD| ve ∣AB∣=52∣AE∣|AB| = \frac{5}{2}|AE| elde edilir.
Benzerlikte eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır: E^\widehat{E}'nin karşısındaki ADAD, B^\widehat{B}'nin karşısındaki ACAC ile orantılıdır.
4
Verilen denklem sistemini kur ve çöz.
∣AB∣−∣AC∣=52(∣AE∣−∣AD∣)=50⇒∣AE∣−∣AD∣=20|AB| - |AC| = \frac{5}{2}(|AE| - |AD|) = 50 \Rightarrow |AE| - |AD| = 20. Verilen ∣AE∣+∣AD∣=140|AE| + |AD| = 140 ile birlikte çözüldüğünde: 2∣AE∣=160⇒∣AE∣=802|AE| = 160 \Rightarrow |AE|=80, ∣AD∣=60|AD|=60.
İki bilinmeyenli denklem sistemi kullanılarak kenar parçaları bulunur.
5
İstenen uzunluğu hesapla.
∣AB∣=52⋅80=200|AB| = \frac{5}{2} \cdot 80 = 200 m. İstenen parça ∣DB∣=∣AB∣−∣AD∣=200−60=140|DB| = |AB| - |AD| = 200 - 60 = 140 m.
Sonuç için bulunan ∣AB∣|AB| değerinden ∣AD∣|AD| çıkarılır.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (Antiparalellik)

Hints

1
Üçgenlerde verilen eşit açıları (m(AED^)=m(B^)m(\widehat{AED}) = m(\widehat{B})) kullanarak benzerlik kurmaya çalışın. Açıların sırasına dikkat edin.
2
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2k^2). Toplam alanı düşünerek benzerlik oranını (kk) bulun.
3
Benzerlik oranı 2/52/5 tir. Ancak DEDE paralel DEĞİLDİR. Bu yüzden ∣AD∣∣AC∣=∣AE∣∣AB∣=25\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2}{5} eşitliğini kullanıp, verilen toplam ve fark denklemlerini çözün.

Practice More

Benzerlik oranının çevreler oranına eşit olduğu (kk), ancak alanlar oranının karesine eşit olduğu (k2k^2) durumları pekiştiren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Sinüs alan formülü kullanılarak da oranlar yazılabilir: Alan(ADE)=12⋅AD⋅AE⋅sin⁡A\text{Alan}(ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin A ve Alan(ABC)=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡A\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. Taraf tarafa oranlandığında AD⋅AEAB⋅AC=425\frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \frac{4}{25} bulunur. Benzerlikten gelen AB=AEkAB = \frac{AE}{k} ve AC=ADkAC = \frac{AD}{k} yerine yazılarak da aynı sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic