Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar

x,yx, y ve zz asal sayıları için aşağıda verilen eşitlik sağlanmaktadır:

x⋅y+x⋅z=4x2+3x \cdot y + x \cdot z = 4x^2 + 3

Buna göre x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımının değeri kaçtır?

  1. A
    39
  2. 66Answer
  3. C
    78
  4. D
    90
  5. E
    114

Answer

Doğru cevap 66'dır.
Verilen eşitlikte xx'in 3'ü tam bölmesi gerektiği ve xx'in asal olduğu görülür, bu da x=3x=3 sonucunu verir. Yerine konulduğunda y+z=13y+z=13 bulunur. Toplamı 13 olan tek asal sayı çifti 2 ve 11'dir. Bu sayıların çarpımı 66 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi xx parantezine alarak düzenle.
x(y+z)=4x2+3x(y + z) = 4x^2 + 3
Ortak çarpan parantezine almak denklemin analizini kolaylaştırır.
2
Eşitliğin her iki tarafını xx'e bölerek y+zy+z'yi yalnız bırak.
y+z=4x+3xy + z = 4x + \frac{3}{x}
yy ve zz birer tam sayı (asal sayı) olduğu için, eşitliğin sağ tarafı da tam sayı olmalıdır.
3
xx'in alabileceği değeri belirle.
x=3x = 3
3x\frac{3}{x} ifadesinin tam sayı olması için xx, 3'ün böleni olmalıdır. xx asal sayı olduğu için sadece 3 olabilir.
4
Bulunan xx değerini yerine yazarak y+zy+z toplamını hesapla.
y+z=4(3)+33=12+1=13y + z = 4(3) + \frac{3}{3} = 12 + 1 = 13
Diğer asal sayıların toplamını bulmak için.
5
Toplamı 13 olan asal sayı çiftini belirle.
y=2y = 2 ve z=11z = 11 (veya tam tersi)
13 sayısının asal sayı toplananları sadece 2 ve 11'dir (Diğer tam sayı ikilileri, örneğin 1+12, 3+10, 4+9, 5+8, 6+7 içinde en az biri asal değildir).
6
Sonucu bulmak için x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımını hesapla.
3⋅2⋅11=663 \cdot 2 \cdot 11 = 66
Soruda istenen nihai değer.

Key Concept

Asal sayılar kümesinde denklem çözümü ve bölünebilme analizi.

Hints

1
Eşitliğin sol tarafını xx parantezine alarak ifadeyi sadeleştirmeyi deneyin.
2
x(y+z)=4x2+3x(y+z) = 4x^2 + 3 ifadesinde her iki tarafı xx'e böldüğünüzde, sağ taraftaki 3x\frac{3}{x} teriminin tam sayı olması gerektiğini hatırlayın.
3
xx bir asal sayı olduğu için 3'ü bölen tek değer 3'tür. x=3x=3 yazarak y+zy+z toplamını bulun.

Practice More

Benzer mantıkla p(q+r)=5p2+7p(q+r) = 5p^2 + 7 eşitliğini sağlayan asalları bulunuz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic