Examkin

Question

Difficulty: MediumAsal Sayılar

a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

(a−2)⋅(b+4)=c(a-2) \cdot (b+4) = c

eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
  1. A
    13
  2. B
    17
  3. 21Answer
  4. D
    23
  5. E
    33

Answer

a + b + c toplamının en küçük değeri 21'dir.
Verilen eşitlikte cc asal olduğundan çarpanlardan biri 1 olmalıdır. bb asal olduğu için b+4b+4 1 olamaz, dolayısıyla a−2=1a-2=1 olur ve buradan a=3a=3 bulunur. Geriye c=b+4c = b+4 kalır. bb değerleri denenerek a,b,ca, b, c'nin birbirinden farklı asal sayılar olduğu en küçük durum a=3,b=7,c=11a=3, b=7, c=11 olarak bulunur. Toplamları 21'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin yapısını ve asal sayı tanımını analiz et.
cc bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri mutlaka 1, diğeri kendisi (cc) olmalıdır.
Asal sayıların 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni yoktur.
2
Hangi çarpanın 1 olabileceğini belirle.
bb bir asal sayı olduğundan en az 2'dir. Dolayısıyla b+4≥6b+4 \ge 6 olur. Bu durumda b+4b+4 çarpanı 1 olamaz. O halde zorunlu olarak a−2=1a-2 = 1 olmalıdır.
Pozitif tam sayılarda çarpan analizi.
3
aa değerini bul.
a−2=1⇒a=3a - 2 = 1 \Rightarrow a = 3.
Birinci çarpanın 1'e eşitlenmesi.
4
Denklemi sadeleştir ve b,cb, c ilişkisini kur.
1⋅(b+4)=c⇒c=b+41 \cdot (b+4) = c \Rightarrow c = b + 4. Yani aradaki farkı 4 olan iki asal sayı aranmalıdır.
Bulunan aa değerini yerine koyma.
5
bb değerlerini deneyerek en küçük toplamı sağlayan farklı asal sayıları bul.
1. Deneme: b=3b=3 için c=7c=7. Ancak a=3a=3 olduğundan aa ve bb farklı değildir. (Elenir)
2. Deneme: b=5b=5 için c=9c=9. 9 asal değildir. (Elenir)
3. Deneme: b=7b=7 için c=11c=11. a=3,b=7,c=11a=3, b=7, c=11 hepsi asaldır ve birbirinden farklıdır. (Geçerli)
Asal sayı değerlerini sırayla deneyerek hem asallık hem de 'birbirinden farklı olma' şartını kontrol etme.
6
Toplamı hesapla.
a+b+c=3+7+11=21a + b + c = 3 + 7 + 11 = 21.
Bulunan değerlerin toplanması.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özelliği ve temel tanımı.
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic