Examkin

Question

Difficulty: HardKatı Cisimler

Bir ayrıtı 66 birim olan küp biçimindeki bir tahta blokun tüm köşelerinden, o köşeyle birleşen ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemler boyunca kesim yapılıyor ve oluşan parçalar atılıyor. Buna göre, geriye kalan cismin hacmi kaç birimküptür?

  1. A
    108
  2. B
    144
  3. C
    162
  4. 180Answer
  5. E
    198

Answer

Geriye kalan cismin hacmi 180 birimküptür.
Küpün bir ayrıtı 6 birim olduğundan hacmi 216216 birimküptür. Her köşeden, ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemlerle kesim yapıldığında, dik kenarları 33 birim olan üçgen piramitler oluşur. Bir piramidin hacmi 13⋅(3⋅32)⋅3=4,5\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 3}{2}) \cdot 3 = 4,5 birimküptür. Küpte 8 köşe olduğu için toplam 8⋅4,5=368 \cdot 4,5 = 36 birimküp hacim eksilir. Kalan hacim 216−36=180216 - 36 = 180 birimküptür.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki küpün hacmini hesapla.
Vku¨p=a3=63=216V_{küp} = a^3 = 6^3 = 216 birimküp.
Kalan hacmi bulmak için önce toplam hacim bilinmelidir.
2
Kesilen bir parçanın şeklini ve boyutlarını belirle.
Her köşeden kesilen parça bir üçgen piramittir. Küpün ayrıtları birbirine dik olduğu için piramidin dik kenar uzunlukları, ayrıtın yarısı olan 6/2=36/2 = 3 birimdir.
Soruda kesimin orta noktalardan yapıldığı belirtilmiştir.
3
Bir köşe piramidinin hacmini hesapla.
Taban alanı (dik üçgen) = 3⋅32=4,5\frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5 birimkare. Yükseklik = 33 birim. Vpiramit=13⋅4,5⋅3=4,5V_{piramit} = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \cdot 3 = 4,5 birimküp.
Piramit hacim formülü: V=13⋅Taban Alanı⋅hV = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot h
4
Toplam kesilen hacmi ve kalan hacmi hesapla.
Toplam kesilen hacim = 8⋅4,5=368 \cdot 4,5 = 36 birimküp. Kalan hacim = 216−36=180216 - 36 = 180 birimküp.
Küpün 8 köşesi olduğundan bir piramit hacmi 8 ile çarpılır ve toplamdan çıkarılır.

Key Concept

Bir cisimden parça çıkarıldığında, kalan cismin hacmi başlangıç hacmi ile çıkarılan parçaların hacimleri farkına eşittir. Küp köşelerinden kesilen parçalar üçgen piramit (düzgün dörtyüzlü değil, dik üçgen piramit) şeklindedir.

Hints

1
Küpün toplam hacminden, köşelerden kesilen 8 adet küçük parçanın hacmini çıkarmanız gerekir.
2
Köşelerden kesilen her bir parça, dik kenar uzunlukları küpün ayrıtının yarısı (3 birim) olan birer üçgen piramittir.
3
Bir üçgen piramidin hacmi V=13⋅Taban Alanı⋅Yu¨kseklikV = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik} formülüyle bulunur. Burada taban, dik kenarları 3 birim olan bir dik üçgendir.

Practice More

Benzer bir mantıkla, bir silindirden oyulan koninin hacmini soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Oran yöntemi: Kesilen her bir piramidin hacmi, onu çevreleyen 3×3×33 \times 3 \times 3 boyutlarındaki hayali küpün hacrinin 1/61/6'sıdır. Tüm küp 8 adet 3×3×33 \times 3 \times 3 küpten oluşur. Her birinden 1/61/6 parça giderse, toplam hacmin 1/61/6'sı gitmiş olur. Kalan hacim 5/65/6'dır. 216⋅56=180216 \cdot \frac{5}{6} = 180.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic