Examkin

Question

Difficulty: Very hardOlasılık Kavramları ve Fonksiyonu

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olaylarının olasılıkları, bir mm gerçel sayısı cinsinden aşağıdaki gibi modellenmiştir:

P(A)=3mP(A) = 3m
P(B)=2mP(B) = 2m
P(A∩B)=m2P(A \cap B) = m^2

Bu eşitliklerin Kolmogorov olasılık aksiyomlarına uygun bir olasılık fonksiyonu tanımlayabilmesi için, mm sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [0, 1/3]
  2. [0,5−212][0, \frac{5-\sqrt{21}}{2}]Answer
  3. C
    [0, 1/5]
  4. D
    [5−212,2][\frac{5-\sqrt{21}}{2}, 2]
  5. E
    [0, 2]

Answer

[0,5−212][0, \frac{5-\sqrt{21}}{2}]
Doğru aralık, olasılık fonksiyonunun tanım kümesi (0<=P<=1), alt küme özellikleri (P(kesişim)<=P(tekil)) ve birleşim özelliği (P(birleşim)<=1) kısıtlamalarının tümünün ortak çözüm kümesidir. Bu kısıtlamalar m^2 - 5m + 1 >= 0 eşitsizliğine ve 0 <= m <= 2 aralığına götürür, bunların kesişimi de verilen köklü ifadeyi içeren aralıktır.

Step-by-Step Solution

1
Olasılık fonksiyonunun temel sınırlarını belirle.
Her olasılık değeri [0, 1] aralığında olmalıdır. P(A)=3m >= 0 olduğundan m >= 0 şartı bulunur.
Olasılık negatif olamaz.
2
Alt küme ilişkisinden gelen kısıtlamaları incele.
P(A ∩ B) <= P(B) olmalıdır. m^2 <= 2m => m(m-2) <= 0 => 0 <= m <= 2. (P(A ∩ B) <= P(A) şartı m^2 <= 3m ise 0 <= m <= 3 verir, daha geniş olduğu için dar olan [0, 2] aralığını baz alırız).
Kesişim kümesinin olasılığı, bileşen kümelerin olasılığından büyük olamaz.
3
Birleşim kümesi olasılığının üst sınırını (P(A U B) <= 1) kontrol et.
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülünden: 3m + 2m - m^2 <= 1 => 5m - m^2 <= 1 => m^2 - 5m + 1 >= 0.
Herhangi bir olayın olasılığı 1'i aşamaz.
4
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bul.
m^2 - 5m + 1 = 0 denkleminin kökleri (delta = 25-4=21): m = (5 ± √21) / 2. Eşitsizlik >= 0 olduğu için çözüm, köklerin dışıdır: m <= (5-√21)/2 veya m >= (5+√21)/2.
Kritik noktaları belirlemek için diskriminant yöntemi kullanılır.
5
Tüm kısıtlamaların kesişim kümesini al.
Adım 2'den gelen [0, 2] aralığı ile Adım 4'ten gelen m <= (5-√21)/2 şartı kesiştirilir. Büyük kök (yaklaşık 4.79) 2'den büyük olduğu için elenir. Sonuç: [0, (5-√21)/2].
m değeri tüm olasılık aksiyomlarını aynı anda sağlamalıdır.

Key Concept

Olasılık Aksiyomları ve Eşitsizlik Sistemleri

Hints

1
Bir olasılık fonksiyonunda herhangi bir olayın olasılığı 1'i aşamaz. Ayrıca P(A U B) değerini m cinsinden hesaplayıp bunun da 1'den küçük veya eşit olması gerektiğini unutmayın.
2
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülünü kullanarak m'ye bağlı ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edin.

Practice More

P(A) ve P(B) olasılıklarının verildiği ancak kesişimin aralık olarak sorulduğu Bonferroni eşitsizliği sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Grafik Çözümü: y = 5x - x^2 parabolü ile y=1 doğrusunun kesişim noktalarını inceleyerek, parabolün 1'in altında kaldığı ilk aralığı belirleyebilirsiniz.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

More questions from this topic