Sayma ve Olasılık Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Question 1Question →

Bir kamu kurumu, "Sıfır Atık" projesi kapsamında iki aşamalı bir stratejik eylem planı hazırlayacaktır. Planın birinci aşaması için "Geri Dönüşüm" ( $3$ farklı yöntem) veya "Yeniden Kullanım" ( $2$ farklı yöntem) yaklaşımlarından biri belirlenecektir. İkinci aşama için ise "Enerji Geri Kazanımı" ( $4$ farklı yöntem) veya "Bertaraf" ( $3$ farklı yöntem) yaklaşımlarından birinin seçilmesi planlanmaktadır. Kurumun belirlediği uygulama esaslarına göre:

- Birinci aşamada "Yeniden Kullanım" yaklaşımı seçilirse, ikinci aşamada mutlaka "Enerji Geri Kazanımı" yöntemlerinden biri tercih edilmelidir.
- Birinci aşamada "Geri Dönüşüm" yaklaşımı seçilirse, ikinci aşamada "Bertaraf" yöntemleri arasında yer alan "Düzenli Depolama" yöntemi yüksek maliyeti nedeniyle elenecektir.

Buna göre, bu stratejik eylem planı kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

12

26

29

32

35

Show answer & explanation

Answer: $26$

Answer

Eylem planı, belirtilen kısıtlamalar dahilinde

26

farklı şekilde oluşturulabilir.

Stratejik plan iki ana duruma ayrılır. İlk durumda 'Yeniden Kullanım' seçilirse ikinci aşamada sadece 'Enerji' yöntemleri seçilebildiği için

2 \times 4 = 8

seçenek oluşur. İkinci durumda 'Geri Dönüşüm' seçilirse ikinci aşamada maliyet kısıtı nedeniyle

7 - 1 = 6

yöntem kalır ve

3 \times 6 = 18

seçenek oluşur. Bu iki farklı yolun toplamı olan

8 + 18 = 26

doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci aşamada 'Yeniden Kullanım' seçilmesi durumunu hesapla.

2 \times 4 = 8

durum

Yeniden Kullanım için

2

seçenek vardır. Kural gereği ikinci aşamada sadece Enerji Geri Kazanımı (

4

seçenek) seçilebildiği için çarpma kuralı uygulanır.

2

Birinci aşamada 'Geri Dönüşüm' seçilmesi durumunu hesapla.

3 \times 6 = 18

durum

Geri Dönüşüm için

3

seçenek vardır. İkinci aşamada Enerji (

4

) ve Bertaraf (

3

) yöntemleri toplam

7

seçenek sunar; ancak 'Düzenli Depolama' elendiği için ikinci aşama için

7 - 1 = 6

seçenek kalır.

3

Ayrı durumların sonuçlarını topla.

8 + 18 = 26

Birinci aşama ya Geri Dönüşüm ya da Yeniden Kullanım olacağı için bu iki ayrık durum toplama kuralı ile birleştirilir.

Key Concept

Sayma Kuralları: Toplama ve Çarpma İlkeleri

Practice More

Koşullu sayma sorularında önce ana dalları belirleyip her dalın kendi kısıtlamalarını ayrı ayrı hesaplamak hata payını azaltır.

Estimated Time:2m 0s

Question 2Question →

Matematik öğretmeni Zeynep Hanım, tahtaya herhangi ikisi çakışık olmayan $n$ tane farklı üçgen ve $m$ tane farklı çember çizmiştir. Bu geometrik şekillerin oluşturabileceği kesişim noktalarının sayısının alabileceği en büyük değer 102 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, tahtadaki üçgen ( $n$ ) ve çember ( $m$ ) sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

n=3, \; m=4

n=4, \; m=3

n=2, \; m=6

n=5, \; m=2

n=3, \; m=3

Show answer & explanation

Answer: $n=3, \; m=4$

Answer

Üçgen sayısı 3 ve çember sayısı 4'tür (

n=3, m=4

).

Soruda verilen şekillerin maksimum kesişim sayılarını bulmak için üç farklı etkileşim türü incelenmelidir: Üçgen-Üçgen, Çember-Çember ve Üçgen-Çember.

1. Üçgen-Üçgen Kesişimi: İki üçgen en fazla 6 noktada kesişir.

n

üçgen arasından

\binom{n}{2}

çift seçilir. Katkısı:

6 \cdot \binom{n}{2}

.
2. Çember-Çember Kesişimi: İki çember en fazla 2 noktada kesişir.

m

çember arasından

\binom{m}{2}

çift seçilir. Katkısı:

2 \cdot \binom{m}{2}

.
3. Üçgen-Çember Kesişimi: Bir üçgenin 3 kenarı, bir çemberi en çok

3 \times 2 = 6

noktada keser.

n

üçgen ve

m

çember için

n \cdot m

çift vardır. Katkısı:

6nm

.

Bu formülde

n=3

ve

m=4

değerleri yerine konulduğunda:

6 \cdot \binom{3}{2} + 2 \cdot \binom{4}{2} + 6 \cdot (3 \cdot 4) = 6(3) + 2(6) + 72 = 18 + 12 + 72 = 102

eşitliği sağlanır.

Step-by-Step Solution

1

Farklı şekil çiftlerinin birbirleriyle oluşturabileceği en çok kesişim noktası sayılarını belirle.

İki üçgen en çok 6, iki çember en çok 2, bir üçgen ile bir çember en çok 6 noktada kesişir.

Maksimum kesişim sayıları şekillerin kenar ve yay özelliklerine göre belirlenir.

2

Toplam kesişim sayısını veren formülü

n

(üçgen) ve

m

(çember) cinsinden oluştur.

Toplam =

\binom{n}{2} \cdot 6 + \binom{m}{2} \cdot 2 + (n \cdot m) \cdot 6 = 102

Kendi türündeki çiftler ve türler arası çiftler ayrı ayrı toplanır.

3

Verilen şıklardaki değerleri formülde yerine koyarak denklemi sağlayan çifti bul.

n=3, m=4

için:

3 \cdot 6 + 6 \cdot 2 + 12 \cdot 6 = 18 + 12 + 72 = 102

.

Denklemi sağlayan tek tam sayı ikilisi bu seçenektir.

Key Concept

Geometrik Şekillerin Kesişim Sayıları

Hints

1

İki farklı geometrik şeklin en çok kaç noktada kesişebileceğini ayrı ayrı düşünün: İki üçgen, iki çember ve bir üçgen ile bir çember.

2

Kombinasyon formüllerini kullanarak toplam kesişim sayısını

n

ve

m

cinsinden bir denklem olarak yazın. İki üçgen en çok 6, iki çember en çok 2 noktada kesişir.

3

Denkleminiz şu yapıda olmalıdır:

6 \cdot \binom{n}{2} + 2 \cdot \binom{m}{2} + 6 \cdot n \cdot m = 102

. Şıkları bu denklemde deneyin.

Practice More

Benzer mantıkla,

n

tane doğru ve

m

tane çemberin kesişim sayısı problemlerini çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek deneme-yanılma yapmak yerine,

n

ve

m

değerlerinin küçük olduğunu fark edip

n \cdot m

çarpımının (üçgen-çember kesişimi) ana belirleyici olduğunu görebilirsiniz.

6nm

terimi 102'ye yaklaşmalıdır.

n=3, m=4

için

72

olur, kalan

30

fark diğer kesişimlerden gelir.

Estimated Time:4m 0s

Question 3Question →

Hazine ve Maliye Bakanlığı bünyesinde bir vergi denetimi sırasında incelenmek üzere $7$ farklı Gelir Vergisi dosyası ve $5$ farklı Kurumlar Vergisi dosyası arasından toplam $4$ dosya seçilecektir. Seçilecek dosyaların tam olarak $2$ tanesinin Gelir Vergisi dosyası olması şartıyla bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

31

210

495

840

105

Show answer & explanation

Answer: $210$

Answer

İstenen şartlara uygun olarak yapılabilecek seçim sayısı

210

'dur.

Toplam seçilmesi gereken 4 dosyanın yarısının (2 dosya) Gelir Vergisi dosyalarından (

C(7,2)

), diğer yarısının ise Kurumlar Vergisi dosyalarından (

C(5,2)

) seçilmesi gerekmektedir. Bu iki bağımsız grup seçiminin kombinasyon değerlerinin çarpımı doğru sonucu verir.

Step-by-Step Solution

1

Gelir Vergisi dosyaları arasından seçim yapılması

C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21

Soruda toplam

4

dosyanın

2

tanesinin Gelir Vergisi olması istendiğinden, mevcut

7

Gelir Vergisi dosyası arasından

2

tanesi seçilmelidir.

2

Geriye kalan dosya sayısı için Kurumlar Vergisi dosyaları arasından seçim yapılması

C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Toplamda

4

dosya seçilmesi gerektiği için,

4 - 2 = 2

dosya daha seçilmelidir. Bu seçim mevcut

5

Kurumlar Vergisi dosyası arasından yapılmalıdır.

3

Bulunan sonuçların çarpılması (Saymanın Çarpma Kuralı)

21 \times 10 = 210

Bu iki seçim işlemi birbirine bağlı olarak gerçekleştiği için çarpma kuralı uygulanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme)

Hints

1

Toplam

4

dosya seçileceğini ve bunlardan tam olarak

2

tanesinin Gelir Vergisi dosyası olması gerektiğini unutmayın.

2

Eğer

2

dosya Gelir Vergisi ise, kalan

2

dosyanın Kurumlar Vergisi dosyaları arasından seçilmesi gerekir.

3

7

dosyadan

2

seçimi (

C(7,2)

) ile

5

dosyadan

2

seçimi (

C(5,2)

) işlemlerini yapıp sonuçları çarpın.

Practice More

Seçilen dosya türlerinin 'en az' veya 'en fazla' kısıtlaması içerdiği benzer durumları inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

Bir kamu kurumunun düzenlediği hizmet içi eğitim seminerine katılan personeller iki gruba ayrılmıştır. 1. Grupta 8 başarılı, 4 başarısız; 2. Grupta ise 4 başarılı, 6 başarısız personel bulunmaktadır.

Her iki gruptan da rastgele birer personel seçilip performans dosyaları inceleniyor. Seçilen bu iki personelden yalnızca birinin başarılı olduğu bilindiğine göre, başarılı olan personelin 1. Gruptan seçilmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{4}

\frac{2}{5}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{4}$

Answer

İstenen koşullu olasılık değeri \frac{3}{4}'tür.

Doğru cevap, koşullu olasılık prensibi gereği hesaplanmıştır. Soruda verilen 'yalnızca birinin başarılı olması' koşulu, örnek uzayımızı kısıtlar. Bu koşulu sağlayan iki durum vardır: (1. Grup Başarılı - 2. Grup Başarısız) veya (1. Grup Başarısız - 2. Grup Başarılı). Bu iki durumun olasılıkları toplamı paydayı (8/15), istenen durum olan (1. Grup Başarılı - 2. Grup Başarısız) olasılığı ise payı (6/15) oluşturur. Oranlandığında sonuç 3/4 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Her iki gruptan başarılı (B) ve başarısız (F) personel seçme olasılıklarını hesapla.

1. Grup: P(B1) = 8/12 = 2/3, P(F1) = 4/12 = 1/3.
2. Grup: P(B2) = 4/10 = 2/5, P(F2) = 6/10 = 3/5.

Her grup birbirinden bağımsızdır ve olasılıklar grubun kendi içindeki dağılıma göre belirlenir.

2

Koşul durumu olan 'yalnızca birinin başarılı olması' olayının olasılığını hesapla (Örnek Uzay).

Durum 1 (1. Başarılı, 2. Başarısız): (2/3) × (3/5) = 6/15.
Durum 2 (1. Başarısız, 2. Başarılı): (1/3) × (2/5) = 2/15.
Toplam Koşul Olasılığı: 6/15 + 2/15 = 8/15.

Yalnızca birinin başarılı olması için ya 1. gruptan başarılı 2. gruptan başarısız seçilmeli ya da tam tersi olmalıdır.

3

İstenen durumu (başarılı personelin 1. gruptan olması) belirle.

İstenen durum, hesapladığımız Durum 1'dir: P(B1 ∩ F2) = 6/15.

Soruda başarılı olan kişinin 1. gruptan (yani diğerinin 2. gruptan başarısız) olması istenmektedir.

4

Koşullu olasılık formülünü P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) uygula.

Olasılık = (6/15) / (8/15) = 6/8 = 3/4.

İstenen durumun olasılığı, koşul durumunun toplam olasılığına oranlanır.

Key Concept

İki bağımsız olay üzerinden tanımlanan koşullu olasılık durumlarında, örnek uzay koşula uyan tüm durumların toplamına indirgenir.

Hints

1

Önce her iki gruptan seçilen personelin başarılı ve başarısız olma olasılıklarını ayrı ayrı kesir olarak yazınız.

2

'Yalnızca birinin başarılı olması' iki farklı senaryoda gerçekleşebilir: Ya (1. Başarılı, 2. Başarısız) ya da (1. Başarısız, 2. Başarılı). Bu iki senaryonun olasılıklarını toplayarak paydayı bulunuz.

3

Paydaya (1. Başarılı ve 2. Başarısız) + (1. Başarısız ve 2. Başarılı) olasılıklarının toplamını yazın. Paya ise sorunun istediği (1. Başarılı ve 2. Başarısız) durumunu yazarak oranlayın.

Alternative Method

Olasılık yerine kombinasyon (seçme sayısı) ile çözüm: Toplam durum sayısı üzerinden değil, olasılık ağırlıkları üzerinden gitmek daha kolaydır ancak sayı vererek de çözülebilir. Örneğin olasılık paydalarını eşitlemek (60 üzerinden) sayısal işlem kolaylığı sağlayabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 5Question →

Bir kamu kurumu bünyesinde düzenlenen hizmet içi eğitim faaliyetleri kapsamında çalışanlara yönelik $4$ farklı teknik branş eğitimi ve $3$ farklı yabancı dil kursu sunulmuştur. Bu faaliyetlerden bir teknik branş eğitimi ve bir yabancı dil kursu seçerek katılmak isteyen bir personelin, bu seçimi gerçekleştirebileceği kaç farklı durum vardır?

1

7

9

12

16

Show answer & explanation

Answer: $12$

Answer

Çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca, personelin önündeki seçenekler

4 \times 3 = 12

farklı şekilde eşleşebilir.

Verilen problemde personel, iki farklı kategoriden birer seçim yapmaktadır. Kategorilerin biri 4 seçenekli, diğeri ise 3 seçeneklidir. 've' bağlacı bu iki seçimin bir arada bir kombinasyon oluşturduğunu gösterdiğinden, Çarpma Yoluyla Sayma kuralı uygulanır ve sonuç

4 \times 3 = 12

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Seçimlerin birbirinden bağımsız ve ardışık olup olmadığını belirleyin.

Bağımsız ve ardışık seçimlerdir.

Personel bir eğitim grubundan bir öğe seçerken aynı zamanda diğer gruptan da bir öğe seçmektedir.

2

Kullanılan 've' bağlacına göre uygun sayma kuralını seçin.

Çarpma Yoluyla Sayma kuralı uygulanmalıdır.

've' bağlacı, her iki seçim grubunun da gerçekleşeceğini ve bu durumların birbiriyle eşleşeceğini ifade eder.

3

Gruplardaki seçenek sayılarını çarpın.

4 \times 3 = 12

Teknik eğitim için 4 durum, yabancı dil kursu için 3 durum olduğundan toplam durum sayısı bu ikisinin çarpımıdır.

Key Concept

Çarpma Yoluyla Sayma (Multiplication Principle)

Hints

1

Soruda geçen 've' bağlacına dikkat edin. Bu bağlacın sayma kurallarındaki karşılığını hatırlayın.

2

Her bir teknik eğitim için kaç farklı yabancı dil kursu seçilebileceğini düşünün.

3

Birinci eğitim için 3, ikinci için 3, üçüncü için 3 ve dördüncü için 3 seçenek vardır. Bu durum

4 \times 3

işlemine karşılık gelir.

Practice More

Benzer bir soruyu 'veya' bağlacı kullanarak çözerek toplama ve çarpma kuralları arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ağaç diyagramı yöntemi ile tüm durumlar listelenebilir. Birinci gruptaki her bir ders için ikinci gruptaki dersler dallandırıldığında toplam 12 uç elde edilir.

Estimated Time:45s

Question 6Question →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için $A \subset B$ bağıntısı olduğu bilinmektedir.

Bu olayların olasılıkları

x

bir gerçel sayı olmak üzere;

P(A) = 1 - 3x

P(B) = 2x + \frac{1}{5}

eşitlikleri ile verilmiştir.

Buna göre, $x$ değerinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

\left[ \frac{4}{25}, \frac{1}{3} \right]

\left[ 0, \frac{1}{3} \right]

\left[ \frac{4}{25}, \frac{2}{5} \right]

\left[ 0, \frac{2}{5} \right]

\left[ \frac{1}{5}, \frac{1}{3} \right]

Show answer & explanation

Answer: $\left[ \frac{4}{25}, \frac{1}{3} \right]$

Answer

\left[ \frac{4}{25}, \frac{1}{3} \right]

Doğru cevap, olasılık aksiyomları ve alt küme özelliğinin kesişim kümesidir.

P(A)

ve

P(B)

'nin

[0,1]

aralığında olması gerekliliği bize

[0, 1/3]

ve

[-0.1, 0.4]

aralıklarını verir. Ancak sorudaki kritik bilgi

A \subset B

olmasıdır, bu da

P(A) \le P(B)

zorunluluğunu getirir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

x \ge 4/25

bulunur. Tüm bu şartların aynı anda sağlandığı en geniş aralık alt sınırdan

4/25

, üst sınırdan

1/3

ile sınırlıdır.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık fonksiyonunun temel aksiyomlarını (0 ≤ P(E) ≤ 1) her iki olay için de uygula.

P(A) için:

0 \le 1-3x \le 1 \Rightarrow 0 \le x \le \frac{1}{3}

. P(B) için:

0 \le 2x + \frac{1}{5} \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{10} \le x \le \frac{2}{5}

.

Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında (sınırlar dahil) olmalıdır.

2

Alt küme (

A \subset B

) ilişkisinden doğan kısıtlamayı (

P(A) \le P(B)

) uygula.

1 - 3x \le 2x + \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{4}{5} \le 5x \Rightarrow x \ge \frac{4}{25}

.

Olasılık fonksiyonunun monotonluk özelliği gereği, A olayı B'nin alt kümesi ise A'nın olasılığı B'den büyük olamaz.

3

Bulunan tüm eşitsizlik aralıklarının kesişimini (ortak çözüm kümesini) bul.

Alt sınırlar:

\max(0, -\frac{1}{10}, \frac{4}{25}) = \frac{4}{25}

. Üst sınırlar:

\min(\frac{1}{3}, \frac{2}{5}) = \frac{1}{3}

.

x değeri tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.

Key Concept

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Monotonluk İlkesi

Hints

1

Herhangi bir olayın olasılığı en az 0, en çok 1 olabilir. Bu kuralı hem

P(A)

hem de

P(B)

için ayrı ayrı yazarak x için ilk sınırları bulun.

2

A

kümesi

B

kümesinin alt kümesi (

A \subset B

) ise,

A

'nın gerçekleşme olasılığı

B

'nin gerçekleşme olasılığından büyük olamaz (

P(A) \le P(B)

).

3

Üç tane eşitsizlik bulmalısınız: 1)

P(A) \ge 0

, 2)

P(B) \le 1

, 3)

P(A) \le P(B)

. Bu üç eşitsizliği de aynı anda sağlayan x aralığını bulun.

Practice More

Ayrık iki olay (

A \cap B = \emptyset

) verildiğinde

P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1

eşitsizliğinin çözümünü gerektiren soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Grafik Yöntemi:

y_1 = 1-3x

ve

y_2 = 2x + 0.2

doğrularını koordinat düzleminde çizip,

0 \le y_1 \le y_2 \le 1

bölgesinde kalan x aralığını görsel olarak tespit edebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 7Question →

Bir il milli eğitim müdürlüğünde görev yapan birbirinden farklı $8$ aday öğretmen arasından, Ankara'da düzenlenecek bir mesleki gelişim seminerine gönderilmek üzere $3$ kişilik bir temsilci heyeti seçilecektir. Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

24

28

56

168

336

Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

8 öğretmen arasından 3 kişilik heyetin 56 farklı şekilde seçilebileceğini belirten seçenek doğrudur.

Verilen problemde 8 farklı kişi arasından sırasız bir şekilde 3 kişi seçilmektedir. Matematikte seçme işlemleri kombinasyon ile ifade edilir.

C(8, 3)

hesaplandığında pay kısmına

8 \cdot 7 \cdot 6

, payda kısmına ise

3 \cdot 2 \cdot 1

yazılır. İşlem sonucunda 56 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Problemin türünü belirle

Seçme (Kombinasyon)

Öğretmenlerin gruptaki sırası önemli değildir, sadece kimlerin heyette yer alacağı önemlidir.

2

Kombinasyon formülünü uygula

C(8, 3) = \binom{8}{3}

n

elemanlı bir kümeden

r

eleman seçme formülü

C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

şeklindedir.

3

Hesaplamayı gerçekleştir

\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

Paydaki

6

değeri ile paydadaki

3 \times 2 = 6

değeri birbirini sadeleştirir, geriye

8 \times 7 = 56

kalır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme), bir küme içerisinden elemanların sırasına bakılmaksızın alt gruplar oluşturma işlemidir. Temel özellik olarak

C(n, n) = 1

(herkesin seçilmesi) ve

C(n, 0) = 1

(kimsenin seçilmemesi) durumları bilinmelidir.

Hints

1

Soruda 'seçme' ve 'grup oluşturma' ifadeleri geçtiği için kombinasyon formülünü kullanmanız gerekir.

2

8 eleman içinden 3 eleman seçtiğiniz için

C(8, 3)

değerini hesaplamalısınız.

3

Kombinasyon hesaplarken paya 8'den geriye doğru 3 sayı çarpımı (

8 \cdot 7 \cdot 6

), paydaya ise 3'ün faktöriyelini (

3 \cdot 2 \cdot 1

) yazarak sadeleştirme yapabilirsiniz.

Practice More

Eğer heyetteki öğretmenlerden biri belirli biriyse (örneğin Ali Öğretmen heyette kesin varsa), kalan 7 öğretmen arasından 2 kişi seçerek (

C(7, 2)

) çözümün nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Kombinasyonun pratik yolu olarak

n

sayısını

r

kadar geri açıp

r!

sayısına bölebilirsiniz. Örn:

8

sayısını

3

adım geri aç (

8 \cdot 7 \cdot 6

) ve

3!

(

6

) ile böl.

Estimated Time:45s

Question 8Question →

Bir devlet hastanesinin satın alma birimi, firmalar tarafından numune olarak gönderilen birbirinden farklı $9$ adet tıbbi cihaz arasından teknik inceleme yapmak üzere $2$ tanesini seçecektir. Buna göre, bu inceleme heyeti cihaz seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

18

36

45

72

81

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Heyet, 9 farklı cihaz arasından 2 tanesini 36 farklı şekilde seçebilir.

Doğru yanıt olan 36 değeri, 9 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt kümelerin sayısını veren

C(9, 2)

işleminin sonucudur. Sıralama önemsiz olduğu için paydaki

9 \times 8

çarpımı, seçilen 2 elemanın kendi arasındaki yer değişimini (2!) elemek için 2'ye bölünmüştür.

Step-by-Step Solution

1

Verileri belirleme

n = 9

(toplam cihaz sayısı),

r = 2

(seçilecek cihaz sayısı)

Kombinasyon hesabında kümenin toplam eleman sayısı ve seçilecek eleman sayısı temel verilerdir.

2

Yöntemi belirleme

Kombinasyon

C(n, r)

formülü seçilir.

Soruda cihazların hangi sırayla seçildiğinin bir önemi yoktur; sadece bir 'seçme' işlemi yapılmaktadır. Bu durum kombinasyon kullanılmasını gerektirir.

3

Hesaplama yapma

C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36

9'un 2'li kombinasyonu, 9'dan geriye 2 çarpan yazılıp 2 faktöriyele bölünerek hesaplanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme), bir küme içerisinden sıra gözetmeksizin belirli sayıda eleman belirleme işlemidir.

Hints

1

Cihazların hangi sırayla seçildiğinin seçim sayısını değiştirip değiştirmediğini düşünün.

2

Bu bir seçme problemidir, dolayısıyla kombinasyon formülünü (

C(n,r)

) kullanmalısınız.

3

9 eleman arasından 2 eleman seçmek için

C(9, 2) = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1}

işlemini yapın.

Practice More

Seçilen cihazların belirli görevlere (örneğin biri röntgen, diğeri tomografi servisine) atanması istenseydi sıralama önemli hale gelir ve permütasyon kullanılırdı.

Alternative Method

Küçük bir örnekle mantığı kavrayabilirsiniz: A, B, C cihazları arasından 2 tane seçilseydi bunlar {A,B}, {A,C} ve {B,C} olmak üzere 3 tane olurdu (

C(3,2)=3

). Aynı mantığı 9 cihaz için uyguluyoruz.

Estimated Time:45s

Question 9Question →

0, 0, 2, 2, 3, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

36

42

48

54

60

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

42

Verilen rakamlar {0, 0, 2, 2, 3, 3}. Çift sayı olması için son basamak 0 veya 2 olmalıdır. Sıfırın başa gelememe durumu, kalan sıfır sayısına göre değiştiği için iki durum ayrı incelenir.

1. Durum (Sonu 0):
Sona 0 sabitlenir. Kalanlar {0, 2, 2, 3, 3}.
Tüm sıralamalar:

\frac{5!}{1!2!2!} = 30

.
Başa 0 gelenler (İstenmeyen): Başa 0, sona 0 koyarsak kalanlar {2, 2, 3, 3}

\rightarrow \frac{4!}{2!2!} = 6

.
Geçerli sayı:

30 - 6 = 24

.

2. Durum (Sonu 2):
Sona 2 sabitlenir. Kalanlar {0, 0, 2, 3, 3}.
Tüm sıralamalar:

\frac{5!}{2!1!2!} = 30

.
Başa 0 gelenler (İstenmeyen): Başa 0, sona 2 koyarsak kalanlar {0, 2, 3, 3}

\rightarrow \frac{4!}{1!1!2!} = 12

.
Geçerli sayı:

30 - 12 = 18

.

Toplam:

24 + 18 = 42

.

Step-by-Step Solution

1

Problemi Durumlara Ayırma

Sayı çift olmalı, yani birler basamağı 0 veya 2 olmalıdır. Bu iki durum ayrı ayrı incelenmelidir.

Sıfırın hem başa gelememe kuralı hem de çift sayı olma kuralını etkilemesi nedeniyle, sıfırın sonda olduğu ve olmadığı durumlar farklı hesaplanmalıdır.

2

1. Durum: Sayının sonunun 0 ile bitmesi

Tüm durumlar (30) - Başa 0 gelenler (6) = 24 sayı

Birler basamağına bir adet 0 sabitlenir. Kalan rakamlar {0, 2, 2, 3, 3}. Bu rakamların sıralanışı:

\frac{5!}{1!2!2!} = 30

. Bunlardan başa 0 gelenler (yani 0 ile başlayıp 0 ile bitenler) çıkarılır: Kalan {2, 2, 3, 3} sıralaması

\frac{4!}{2!2!} = 6

.

3

2. Durum: Sayının sonunun 2 ile bitmesi

Tüm durumlar (30) - Başa 0 gelenler (12) = 18 sayı

Birler basamağına bir adet 2 sabitlenir. Kalan rakamlar {0, 0, 2, 3, 3}. Bu rakamların sıralanışı:

\frac{5!}{2!1!2!} = 30

. Bunlardan başa 0 gelenler (yani 0 ile başlayıp 2 ile bitenler) çıkarılır: Başta 0, sonda 2 sabitken kalan {0, 2, 3, 3} sıralaması

\frac{4!}{1!1!2!} = 12

.

4

Toplam Sonuç

24 + 18 = 42

İki ayrı durumun sonuçları toplanır.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon problemlerinde, '0' rakamı hem başa gelememe kısıtlamasında hem de çiftlik kuralında rol oynuyorsa, durumlar 'sonu 0 olan' ve 'sonu 0 olmayan çift sayı' olarak ayrı ayrı incelenmelidir.

Hints

1

Sayı çift olacağı için birler basamağına hangi rakamlar gelebilir, belirleyiniz.

2

Birler basamağına 0 geldiği durum ile 2 geldiği durumu ayrı ayrı incelemelisiniz. Çünkü elimizde kalan 0 sayısı başa gelme durumunu etkileyecektir.

3

Sonu 0 ise: Kalan {0,2,2,3,3} ile kaç sayı yazılır? Sonu 2 ise: Kalan {0,0,2,3,3} ile kaç sayı yazılır? Her iki durumda da başa 0 gelenleri çıkarmayı unutmayın.

Alternative Method

Tüm geçerli 6 basamaklı sayıları bulup (60 tane), bunlardan tek olanları (sonu 3 ile bitenleri) çıkarabilirsiniz. Sonu 3 ile biten geçerli sayı adedi 18'dir. 60 - 18 = 42.

Estimated Time:2m 30s

Question 10Question →

$(2x - 3y)^4$ ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılar toplamı kaçtır?

-1

1

5

16

625

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanan 1 değeridir.

Verilen

(2x - 3y)^4

ifadesinde katsayılar toplamını bulmak için

x

ve

y

yerine 1 yazıldığında

(2-3)^4

elde edilir. Bu da

(-1)^4

ifadesine eşittir ve sonucu 1 yapar.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin yerine 1 yazılması

x = 1

ve

y = 1

değerleri ifadede yerlerine konur.

Bir polinom veya binom açılımında katsayılar toplamını bulmanın temel kuralı tüm değişkenlere 1 değerini vermektir.

2

Parantez içindeki işlemin yapılması

(2 \cdot 1 - 3 \cdot 1)^4 = (2 - 3)^4 = (-1)^4

Önce çarpma işlemleri, ardından parantez içindeki çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

3

Üslü ifadenin hesaplanması

(-1)^4 = 1

Negatif bir sayının çift kuvveti (4 çift bir sayıdır) her zaman pozitiftir.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.

Hints

1

Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmak için içindeki tüm harflere (değişkenlere) 1 değerini vermelisin.

2

x

yerine 1 ve

y

yerine 1 yazarak parantez içindeki çıkarma işlemini tamamla.

3

İşlem sonucunda

(-1)^4

değerine ulaşırsın. Negatif sayıların çift kuvvetlerinin işaretine dikkat ederek sonucu bulabilirsin.

Practice More

Benzer şekilde

(x + 2y)^3

ifadesinin katsayılar toplamını bularak pratiğini geliştirebilirsin.

Alternative Method

İfadeyi tam olarak açmak zaman alsa da, açılımın başındaki ve sonundaki katsayıları Pascal üçgeninin 4. satırı (1, 4, 6, 4, 1) ile çarparak terimleri bulup toplayabilirsin. Ancak katsayılar toplamı için

x=y=1

yazmak her zaman en kısa yoldur.

Estimated Time:45s

Question 11Question →

Bir bakanlığın yıllık denetim planında; A, B, C ve D kodlu 4 farklı idari birim ile 1, 2 ve 3 numaralı 3 farklı teknik birim yer almaktadır. Toplam 7 birimden oluşan bu listenin denetim sıralamasıyla ilgili aşağıdaki kurallar belirlenmiştir:

* Teknik birimlerin denetimi, numaraları artan sırada (1'den sonra 2, 2'den sonra 3 gelecek şekilde) yapılacaktır; ancak bu birimlerin art arda gelmesi zorunlu değildir.
* Denetim süreci, mutlaka bir idari birimle başlayacaktır.

Buna göre, bu 7 birim için kaç farklı denetim sıralaması oluşturulabilir?

120

240

480

720

840

Show answer & explanation

Answer: 480

Answer

480 farklı sıralama

Toplam 7 birim vardır. İlk sıraya 4 farklı idari birimden biri gelmelidir (4 seçenek). Geriye kalan 6 pozisyona, kalan 3 idari ve 3 teknik birim yerleştirilecektir. Teknik birimlerin kendi aralarındaki sıralaması sabit (1-2-3) olduğundan, bu birimler sanki özdeşmiş gibi düşünülerek tekrarlı permütasyon formülü uygulanır: 6!/3! = 120. Sonuç olarak çarpma kuralı gereği 4 x 120 = 480 farklı sıralama elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam birim sayısını ve türlerini belirle.

4 İdari (A, B, C, D) + 3 Teknik (1, 2, 3) = 7 Birim.

Sıralanacak eleman kümesini tanımlamak için.

2

İlk sıraya gelebilecek aday sayısını belirle.

4 farklı seçenek.

Soruda 'Denetim süreci bir idari birimle başlayacaktır' şartı verildiği için ilk sıraya A, B, C veya D gelebilir.

3

Geriye kalan 6 boşluğa, kalan 6 birimin (3 İdari, 3 Teknik) yerleşimi için sıralama sayısını hesapla. Teknik birimlerin kendi aralarındaki sırası sabit (1-2-3) olduğu için tekrarlı permütasyon mantığını kullan.

6! / 3! = 720 / 6 = 120 farklı sıralama.

Geriye kalan 6 birimden 3 tanesi teknik birimdir. Bu 3 teknik birimin kendi aralarında yer değiştirmesi (3!) yasaktır çünkü sıraları sabittir (1<2<3). Bu yüzden tüm dizilim sayısı 3!'e bölünür.

4

İlk adımdaki seçenek sayısı ile ikinci adımdaki sıralama sayısını çarp.

4 x 120 = 480.

Çarpma kuralı gereği, birbirine bağlı olayların seçenek sayıları çarpılır.

Key Concept

Özel Sıralı Permütasyon (Tekrarlı Permütasyon Benzerliği)

Hints

1

Önce denetim sürecinin ilk sırasına gelebilecek birimleri yerleştirin.

2

Geriye kalan 6 birimden 3'ü teknik birimdir. Teknik birimlerin kendi aralarındaki sıralaması sabitse (1-2-3), bu durumu nasıl hesaplarsınız? (İpucu: Tekrarlı permütasyon gibi düşünün).

3

İlk sıra için 4 seçenek var. Kalan 6 yer için hesaplama: 6! / 3! (Teknik birimlerin yer değişimi engellendiği için). Bu iki sonucu çarpın.

Practice More

Teknik birimlerin yan yana gelmeme şartı da eklenseydi çözüm nasıl değişirdi?

Alternative Method

Tüm durumları hesaplayıp oranlama yöntemi: Tüm 7 birim, teknik birim kısıtıyla 7!/3! = 840 farklı şekilde sıralanabilir. Elimizde 4 idari, 3 teknik birim olduğu için, simetri gereği bu sıralamaların 4/7'si bir idari birimle başlar. 840 * (4/7) = 480.

Estimated Time:2m 30s

Question 12Question →

Bir uluslararası zirve kapsamında düzenlenen basın toplantısında; $4$ farklı ülkenin devlet başkanı ve $2$ farklı uluslararası kuruluşun temsilcisi, protokol fotoğrafı çekimi için yan yana bir sıra halinde dizilecektir.

**Uluslararası kuruluş temsilcilerinin yan yana gelmemesi koşuluyla bu $6$ kişi kaç farklı şekilde sıralanabilir?**

120

240

360

480

720

Show answer & explanation

Answer: $480$

Answer

Uluslararası kuruluş temsilcilerinin yan yana gelmediği toplam sıralama sayısı

480

olarak bulunur.

Toplam

6

kişinin sıralanışı

6! = 720

farklı şekilde yapılabilir. İstenmeyen durum olan iki temsilcinin yan yana bulunması durumu, bu iki kişinin tek bir blok gibi düşünülmesiyle

(4+1)! \times 2! = 240

olarak hesaplanır. Tüm durumlardan bu istenmeyen durum çıkarıldığında (

720 - 240

), temsilcilerin ayrık olduğu

480

farklı dizilim elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Tüm olası sıralama durumlarını hesapla.

6! = 720

6

farklı kişinin herhangi bir kısıtlama olmaksızın yan yana diziliş sayısı faktöriyel ile hesaplanır.

2

Temsilcilerin yan yana geldiği durum sayısını hesapla.

(4+1)! \times 2! = 120 \times 2 = 240

2

temsilci tek bir birim olarak kabul edilir (

4

başkan +

1

birim =

5

nesne). Birimin içindeki

2

temsilci de kendi aralarında yer değiştirebilir.

3

Yan yana gelmeme durumunu bulmak için çıkarma işlemini yap.

720 - 240 = 480

İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar (yan yana olma).

Key Concept

Permütasyonda belirli nesnelerin yan yana gelmeme durumları 'Tüm Durumlar - Yan Yana Olma Durumları' mantığıyla veya 'Boşluk Yöntemi' ile hesaplanır.

Hints

1

Önce hiçbir kısıtlama olmasaydı kaç farklı dizilim olurdu, onu bulmayı dene.

2

İki temsilcinin yan yana olduğu durumları bulmak için onları tek bir paket gibi düşünebilirsin.

3

Yan yana gelmeme durumunu bulmak için; toplam sıralama sayısından, yan yana oldukları durum sayısını çıkar.

Practice More

Benzer bir mantıkla; 3 farklı matematik ve 4 farklı fizik kitabının, matematik kitapları yan yana gelmemek üzere kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayabilirsin.

Alternative Method

Boşluk yöntemi: Önce 4 başkan yerleştirilir (

4! = 24

). Oluşan 5 boşluktan 2 tanesi temsilciler için seçilir ve temsilciler yerleştirilir (

P(5, 2) = 20

). Toplam:

24 \times 20 = 480

.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

$n$ ve $m$ birer pozitif tam sayı olmak üzere,

10! + 11! = 2^n \cdot m

eşitliğinde

m

bir tek sayı olduğuna göre,

n

kaçtır?

8

9

10

11

12

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Verilen eşitlikteki n değeri 10'dur.

Verilen ifade

10! \cdot (1 + 11) = 10! \cdot 12

şeklinde yazıldığında,

10!

içinden ardışık bölme yöntemiyle 8 tane, 12 sayısından ise

2^2

olduğu için 2 tane 2 çarpanı gelir. Toplam 10 adet 2 çarpanı dışarı çıkarıldığında geriye kalan tüm çarpanlar tek sayı olur, bu da

m

sayısının tek olmasını sağlar.

Step-by-Step Solution

1

İfadeyi ortak çarpan parantezine alın.

10! + 11! = 10! + 11 \cdot 10! = 10!(1 + 11) = 10! \cdot 12

İşlemi basitleştirmek ve çarpanları net görmek için en küçük faktöriyel parantezine alınır.

2

10!

içerisindeki 2 çarpanı sayısını Legendre formülü ile bulun.

10/2 = 5

;

5/2 = 2

;

2/2 = 1

. Toplam:

5 + 2 + 1 = 8

.

Bir faktöriyel içindeki asal çarpan sayısını bulmak için sayı sürekli o asala bölünür ve bölümler toplanır.

3

12

sayısını asal çarpanlarına ayırın.

12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3

Toplam ifadesinden gelen sabit sayının içindeki 2 çarpanlarını belirlemek gerekir.

4

Toplam 2 çarpanı sayısını hesaplayın.

2^8

(

10!

içinden) ve

2^2

(

12

içinden)

\Rightarrow 8 + 2 = 10

m sayısının tek olması için ifadedeki tüm 2 çarpanlarının

2^n

içerisinde toplanması gerekir.

Key Concept

Faktöriyel içeren toplamlı ifadelerde ortak paranteze alma ve Legendre (ardışık bölme) yöntemi ile asal çarpan sayısını bulma.

Hints

1

Toplama halindeki faktöriyelli ifadelerde işlem yapabilmek için ifadeyi küçük olanın parantezine alarak çarpım durumuna getirmelisiniz.

2

10! + 11! = 10!(1 + 11) = 10! \cdot 12

olduğunu gördükten sonra, hem

10!

hem de

12

içindeki 2 çarpanlarını ayrı ayrı hesaplayın.

3

n!

sayısının içindeki asal bir

p

çarpanının sayısını bulmak için

n

sayısını

p

ile bölün ve bölümleri (bölüm

p

den küçük olana kadar) toplayın. Son olarak

12 = 2^2 \cdot 3

bilgisini kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla

(20! + 21!)

sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmaya çalışın.

Alternative Method

Alternatif olarak, sayıları tek tek analiz edebilirsiniz: 10! içinde 2, 4(2^2), 6(2), 8(2^3), 10(2) sayıları vardır (8 adet 2). 12 sayısı ise 4*3 olduğundan 2 tane 2 içerir. Toplam 8 + 2 = 10 olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 14Question →

Bir düzgün sekizgenin köşeleri üzerindeki noktalar kullanılarak, köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir?

24

28

56

168

336

Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

Düzgün sekizgenin köşeleri kullanılarak 56 farklı üçgen çizilebilir.

Üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan 3 nokta gereklidir. Düzgün bir sekizgenin 8 köşesi vardır ve bu köşelerin herhangi üçü aynı doğru üzerinde değildir. Bu nedenle 8 noktadan yapılacak her 3'lü seçim bir üçgen belirtir. Hesaplama: C(8,3) = (8x7x6)/(3x2x1) = 56 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Problemin türünü belirle

Bu bir seçme problemidir (kombinasyon). Sıralama önemli değildir.

Üçgen oluşturmak için 3 noktaya ihtiyaç vardır ve üçgenin köşelerinin sırası (ABC veya BCA) üçgeni değiştirmez.

2

Koşulları kontrol et

n=8 (toplam nokta), r=3 (seçilecek nokta). Herhangi üçü doğrusal değil.

Düzgün çokgenin köşelerinin herhangi üçü asla aynı doğru üzerinde (doğrusal) değildir, bu nedenle tüm üçlü seçimler üçgen oluşturur.

3

Kombinasyon formülünü uygula

C(8,3) = (8 . 7 . 6) / (3 . 2 . 1) = 336 / 6 = 56

C(n,r) = n! / ((n-r)! . r!) formülü kullanılır.

Key Concept

n tane noktadan, herhangi üçü doğrusal değilse C(n,3) tane üçgen oluşturulabilir.

Hints

1

Üçgen oluşturmak için kaç köşe seçmeniz gerektiğini düşünün.

2

Sıralama önemli mi? ABC üçgeni ile BAC üçgeni aynı mıdır? Aynıysa kombinasyon kullanmalısınız.

3

Toplam 8 nokta var ve bunlardan 3 tanesini seçmelisiniz: C(8,3) işlemini yapın.

Practice More

Benzer mantıkla, aynı sekizgenin köşeleri kullanılarak kaç farklı dörtgen çizilebileceğini hesaplayınız.

Estimated Time:45s

Question 15Question →

Analitik bir düzlemde, birbirinden farklı yarıçaplara sahip 3 çember ve bu çemberlerden farklı 5 doğru bulunmaktadır. Bu geometrik şekillerin oluşturabileceği kesişim noktası sayısı en çok kaçtır?

36

40

43

46

56

Show answer & explanation

Answer: 46

Answer

46

En çok kesişim noktası sayısını bulmak için üç farklı durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekir: 1) Doğruların kendi arasındaki kesişimi: 5 doğru C(5,2)=10 noktada kesişir. 2) Çemberlerin kendi arasındaki kesişimi: 3 çember C(3,2)×2 = 3×2=6 noktada kesişir. 3) Doğrular ile çemberlerin kesişimi: 1 doğru 1 çemberi en çok 2 noktada kestiğinden, 5 doğru ve 3 çember 5×3×2=30 noktada kesişir. Toplam: 10 + 6 + 30 = 46 noktadır.

Step-by-Step Solution

1

Doğruların kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla.

C(5, 2) = 10 nokta

n tane doğru en çok C(n, 2) noktada kesişir.

2

Çemberlerin kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla.

C(3, 2) × 2 = 3 × 2 = 6 nokta

İki çember en çok 2 noktada kesişir. m tane çember için C(m, 2) × 2 formülü kullanılır.

3

Doğrular ile çemberlerin birbirleriyle olan maksimum kesişim sayısını hesapla.

5 × 3 × 2 = 30 nokta

Her bir doğru, her bir çemberi en çok 2 noktada keser. (Doğru Sayısı) × (Çember Sayısı) × 2.

4

Bulunan tüm kesişim noktası sayılarını topla.

10 + 6 + 30 = 46 nokta

Toplam maksimum kesişim sayısı, tüm olası ikili kombinasyonların toplamıdır.

Key Concept

Farklı türdeki geometrik şekillerin (doğru ve çember) maksimum kesişim noktaları hesaplanırken; aynı türden şekillerin kendi aralarındaki kesişimleri ve farklı türden şekillerin birbirleriyle olan kesişimleri ayrı ayrı toplanmalıdır.

Hints

1

Kesişim noktalarını üç grupta inceleyin: Sadece doğruların kesişimi, sadece çemberlerin kesişimi ve doğrular ile çemberlerin kesişimi.

2

n tane doğru en çok C(n,2) noktada, m tane çember en çok C(m,2)×2 noktada kesişir.

3

Bir doğru bir çemberi en çok 2 noktada keser. Dolayısıyla 5 doğru ve 3 çemberin birbirleriyle kesişimi 5 × 3 × 2 işlemini gerektirir.

Practice More

Benzer mantıkla, '4 üçgen ve 3 doğru en çok kaç noktada kesişir?' sorusunu çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Tüm şekiller çember olsaydı C(8,2)×2 = 56 kesişim olurdu. Ancak 5 tanesi doğru olduğu için, doğruların kendi aralarındaki kesişimi 2 yerine 1 sayılır (kayıp: C(5,2)×1 = 10). Ayrıca, doğrular birbirini çemberler gibi 2 noktada değil, 1 noktada keser. Bu yöntem karmaşık olabilir, parçalı toplama yöntemi daha güvenilirdir.

Estimated Time:2m 30s

Question 16Question →

Bir araç muayene istasyonunda bir gün içinde kontrol edilen araçlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Fren kusuru tespit edilen araç sayısı 45'tir.
* Far kusuru tespit edilen araç sayısı 30'dur.
* Hem fren hem de far kusuru tespit edilen araç sayısı 10'dur.

Kontrol edilen araçlar arasından rastgele seçilen bir aracın fren kusuru olduğu bilindiğine göre, bu araçta far kusuru bulunmama olasılığı kaçtır?

\frac{2}{9}

\frac{7}{24}

\frac{7}{9}

\frac{7}{13}

\frac{2}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{9}$

Answer

\frac{7}{9}

Seçilen aracın fren kusurlu olduğu bilindiği için çalışma evrenimiz fren kusurlu 45 araçtır. Bu 45 aracın 10 tanesinde far kusuru da vardır. Geriye kalan

45-10=35

araçta ise far kusuru yoktur (sadece fren kusuru vardır). İstenen olasılık

\frac{35}{45}

olur, bu da sadeleşince

\frac{7}{9}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık koşulunu belirle (Örnek Uzay)

Seçilen aracın 'fren kusuru olduğu bilindiğine' göre, örnek uzayımız sadece fren kusuru olan araçlardır. Bu sayı

s(Fren) = 45

'tir.

Koşullu olasılıkta 'bilindiğine göre' ifadesinden önceki küme, yeni örnek uzayımız olur.

2

İstenen durumu hesapla

Bu araçta 'far kusuru bulunmama' durumu istenmektedir. Fren kusuru olan 45 aracın 10 tanesinde far kusuru da (kesişim) vardır. Dolayısıyla sadece fren kusuru olan (far kusuru olmayan) araç sayısı:

45 - 10 = 35

'tir.

Bir kümenin eleman sayısından kesişimin eleman sayısını çıkararak fark kümesinin eleman sayısı bulunur:

s(Fren \setminus Far) = s(Fren) - s(Fren \cap Far)

.

3

Olasılık oranını kur ve sadeleştir

P(Far Yok | Fren Var) = \frac{s(Fren \setminus Far)}{s(Fren)} = \frac{35}{45} = \frac{7}{9}

İstenen durum sayısını, koşullu örnek uzay sayısına bölerek olasılık değeri bulunur. Kesir 5 ile sadeleştirilmiştir.

Key Concept

Koşullu Olasılık Formülü:

P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}

veya küme farkı mantığıyla

P(A'|B) = \frac{s(B) - s(A \cap B)}{s(B)}

Hints

1

Soruda '...bilindiğine göre' ifadesi geçmektedir. Bu, tüm araçları değil, sadece bu koşulu sağlayan grubu (Fren kusuru olanları) payda (örnek uzay) olarak almanız gerektiğini gösterir.

2

Paydaya fren kusuru olan toplam araç sayısını (45) yazmalısınız. Paya ise, BU GRUBUN İÇİNDEN far kusuru olmayanların sayısını yazmalısınız.

3

Fren kusuru olan 45 aracın 10 tanesinde far kusuru da varsa, kaç tanesinde far kusuru yoktur?

45 - 10

işlemini yapın ve bunu 45'e oranlayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla: 'Far kusuru olduğu bilinen bir aracın fren kusuru da olma olasılığı nedir?' sorusunu düşününüz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek çözümü görselleştirebilirsiniz. Sadece Fren (35), Sadece Far (20), Her ikisi (10). Evren sadece Fren halkası (35+10=45) olur. İstenen bölge 'Sadece Fren' (35) bölgesidir.

Estimated Time:1m 30s

Question 17Question →

Bir kamu kurumunda arşivlenen dosyalar için {0, 1, 2, 3, 4, 5} rakamları kullanılarak 4 basamaklı dosya numaraları oluşturulacaktır.

Oluşturulacak dosya numaralarının rakamları birbirinden farklı, 3000'den büyük ve çift sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı dosya numarası oluşturulabilir?

72

96

108

120

156

Show answer & explanation

Answer: 96

Answer

Bu koşullara uygun 96 farklı dosya numarası oluşturulabilir.

İstenen sayıların 3000'den büyük ve çift olması gerektiğinden, binler basamağına {3, 4, 5} rakamları gelebilir. Ancak 4 rakamı hem binler basamağını hem de birler basamağındaki çift olma durumunu etkilediği için inceleme ikiye ayrılmalıdır:

1. Binler basamağı tek ise (3 veya 5):
- Binler basamağı: 2 seçenek ({3, 5})
- Birler basamağı: 3 seçenek ({0, 2, 4}) (Binler basamağında kullanılan tek sayı burayı etkilemez)
- Aradaki basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir ve sıralanır (

P(4,2) = 12

)
- İşlem:

2 \times 3 \times 12 = 72

2. Binler basamağı çift ise (sadece 4):
- Binler basamağı: 1 seçenek ({4})
- Birler basamağı: 2 seçenek ({0, 2}) (4 kullanıldığı için 4 gelemez)
- Aradaki basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir ve sıralanır (

P(4,2) = 12

)
- İşlem:

1 \times 2 \times 12 = 24

Toplam:

72 + 24 = 96

farklı dosya numarası oluşturulabilir.

Step-by-Step Solution

1

Problemi analiz et

Kullanılacak küme: {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Koşullar: 4 basamaklı, rakamları farklı, >3000, çift sayı.

Kısıtlamalar (büyüklük ve teklik/çiftlik) binler ve birler basamağını etkilediği için bu basamaklar birbirine bağımlıdır ve durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

2

Binler basamağının tek sayı olduğu durumları incele (3 ve 5)

Binler basamağına {3, 5} gelebilir (2 durum). Birler basamağına çift {0, 2, 4} gelebilir (3 durum). Kalan 2 basamak için 4 rakamdan 2'si seçilir (4x3=12). Toplam: 2 x 3 x 12 = 72 sayı.

Binler basamağına tek sayı geldiğinde (örneğin 3), birler basamağındaki çift sayı adaylarının hiçbiri kullanılmış olmaz.

3

Binler basamağının çift sayı olduğu durumları incele (4)

Binler basamağına sadece {4} gelebilir (1 durum). Birler basamağına kalan çiftler {0, 2} gelebilir (2 durum). Kalan 2 basamak için yine 4x3=12. Toplam: 1 x 2 x 12 = 24 sayı.

Binler basamağına 4 geldiğinde, birler basamağı için 4 kullanılamaz, seçenek sayısı azalır.

4

Tüm durumları topla

72 + 24 = 96.

Ayrık durumlar (binler basamağı tek veya çift) toplama kuralı ile birleştirilir.

Key Concept

Kısıtlı Permütasyon ve Durum Analizi

Hints

1

Bir sayı hem 3000'den büyük hem de çift olacaksa, binler basamağı ve birler basamağı için hangi rakamlar kullanılabilir? Kümeleri yazınız.

2

Binler basamağına gelebilecek {3, 4, 5} kümesindeki '4' rakamı çifttir. Bu rakam binler basamağına gelirse, birler basamağına gelebilecek çift sayıların sayısı değişir.

3

Problemi iki duruma ayırın: 1) Binler basamağının 3 veya 5 olduğu durumlar. 2) Binler basamağının 4 olduğu durumlar. Sonuçları toplayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 18Question →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt işlemi için iki farklı prosedür uygulanabilmektedir. Birinci prosedürde evrak, önce Kayıt Birimi'ndeki 3 memurdan biri tarafından sisteme girilmekte ve ardından Kontrol Birimi'ndeki 5 şeften biri tarafından onaylanmaktadır. İkinci prosedürde ise evrak, doğrudan Yönetim Birimi'ndeki 4 müdürden biri tarafından tek aşamada onaylanmaktadır. Buna göre, bir evrağın kayıt işlemi kaç farklı yolla gerçekleştirilebilir?

12

15

19

32

60

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Evrak kayıt işlemi toplam 19 farklı yolla gerçekleştirilebilir.

Soruda iki alternatif durum (veya) ve birinci durumun içinde sıralı alt aşamalar (ve) bulunmaktadır. Birinci prosedürde olaylar birbirine bağlı olduğu için çarpma kuralı uygulanır: 3 memur x 5 şef = 15 yol. İkinci prosedür, birinciye alternatif olduğu için 4 müdür seçeneği ayrı bir durumdur. Sonuç olarak, bu iki alternatif durum toplanır: 15 + 4 = 19.

Step-by-Step Solution

1

Birinci prosedürdeki durum sayısını hesapla (Çarpma Kuralı).

3 x 5 = 15 farklı yol.

Evrak önce memurdan 've' sonra şeften geçmektedir. Birbirine bağlı sıralı olaylarda çarpma kuralı uygulanır.

2

İkinci prosedürdeki durum sayısını belirle.

4 farklı yol.

İkinci prosedürde sadece 4 müdürden biri seçilmektedir.

3

İki prosedürü birleştir (Toplama Kuralı).

15 + 4 = 19 farklı yol.

Birinci prosedür 'veya' ikinci prosedür gerçekleşebilir. Alternatif (ayrık) durumlarda toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Sayma işleminde; birbirine bağlı ardışık olaylar için 'Çarpma Kuralı', birbirine alternatif ayrık olaylar için 'Toplama Kuralı' kullanılır.

Question 19Question →

Bir belediyenin park ve bahçeler müdürlüğü, düz bir yürüyüş yolunun kenarına dikmek üzere 3 adet özdeş ıhlamur, 2 adet özdeş çınar ve 2 adet özdeş meşe ağacı fidanı hazırlamıştır.

Bu 7 fidanın tamamı, yan yana ve eşit aralıklarla dikilecektir. Türleri bakımından bu fidanlar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

105

210

420

840

5040

Show answer & explanation

Answer: 210

Answer

Fidanlar türleri bakımından 210 farklı şekilde sıralanabilir.

Toplam 7 fidan vardır ancak bunların 3'ü ıhlamur, 2'si çınar ve 2'si meşe olarak özdeştir. Tekrarlı permütasyon formülü gereği toplam faktöriyel (7!), tekrar edenlerin faktöriyellerinin çarpımına (3! . 2! . 2!) bölünür. İşlem sonucu 210 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Toplam nesne sayısı ve tekrar eden grupları belirle.

Toplam fidan (n) = 3 + 2 + 2 = 7. Tekrar edenler: 3 ıhlamur, 2 çınar, 2 meşe.

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayabilmek için n ve n1, n2, n3 değerlerinin tespiti gerekir.

2

Tekrarlı permütasyon formülünü uygula.

\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2}

n tane nesnenin n1, n2, ... tanesi özdeş ise sıralama sayısı

\frac{n!}{n1! \cdot n2! \dots}

formülü ile bulunur.

3

İşlemleri sadeleştirerek sonucu bul.

\frac{5040}{24} = 210

Faktöriyel değerleri hesaplanıp bölme işlemi yapılır.

Key Concept

Özdeş nesnelerin sıralanmasında, nesnelerin kendi aralarındaki yer değişimlerinin sonucu etkilemediği durumlar için Tekrarlı Permütasyon formülü kullanılır.

Question 20Question →

Bir torbada üzerinde tüm rakamların ( $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ ) yazılı olduğu, birbirinin özdeşi olan $10$ adet kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının $7$ 'den küçük bir asal sayı olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{5}

\frac{3}{10}

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{10}$

Answer

Torbadaki kart sayısının 10, istenen asal sayıların ise 3 adet olması nedeniyle olasılık 3/10'dur.

Tüm rakamlar kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olduğundan örnek uzayın eleman sayısı 10'dur. Bu rakamlar içinden 7'den küçük olan asal sayılar ise sadece 2, 3 ve 5'tir (3 adet). Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranı 3/10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Örnek uzayı (tüm olası durumları) belirle.

E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

kümesi olup eleman sayısı

s(E) = 10

dur.

Olasılık hesabında payda kısmına yazılacak olan toplam durum sayısını bulmak gerekir.

2

İstenen olayın elemanlarını belirle.

7

'den küçük asal sayılar

\{2, 3, 5\}

kümesi olup eleman sayısı

s(A) = 3

tür.

Soruda belirtilen '7'den küçük asal sayı' koşuluna uyan değerleri tespit etmek gerekir.

3

Olasılık formülünü uygula.

P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{3}{10}

Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır.

Key Concept

Olasılık Fonksiyonu ve Örnek Uzay

Hints

1

Matematikte 'rakamlar' kümesinin hangi sayılardan oluştuğunu ve kaç tane olduğunu hatırla.

2

En küçük asal sayının kaç olduğunu hatırla ve 7'den küçük olan tüm asal sayıları listele.

3

Bir olayın olasılığı 0 (imkansız olay) ile 1 (kesin olay) arasındadır. İstenen asal sayı adedini toplam rakam adedine bölerek sonucu bulabilirsin.

Practice More

Benzer bir soruda, seçilen sayının çift sayı veya 5'ten büyük olma olasılığını hesaplayarak pekiştirme yapabilirsin.

Alternative Method

Olasılığı doğrudan hesaplamak yerine, '7'den büyük veya asal olmayan' durumları bulup 1'den çıkararak da sonuca ulaşılabilir, ancak bu soru için doğrudan sayma yöntemi daha pratiktir.

Estimated Time:45s

Sayma ve Olasılık

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method