Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar
a,ba, b ve cc asal sayılar olmak üzere,
a=b3−c3a = b^3 - c^3

eşitliği veriliyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    19
  3. C
    22
  4. 24Answer
  5. E
    28

Answer

Doğru cevap 24'tür.
Verilen eşitlikte aa bir asal sayıdır. b3−c3b^3 - c^3 ifadesi (b−c)(b2+bc+c2)(b-c)(b^2+bc+c^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Asal bir sayının pozitif çarpanları sadece 1 ve kendisidir. b2+bc+c2b^2+bc+c^2 ifadesi asal sayılar için daima 1'den büyüktür, bu nedenle b−cb-c çarpanı 1 olmak zorundadır. Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar sadece 3 ve 2'dir (b=3,c=2b=3, c=2). Bu değerler yerine konulduğunda a=33−23=19a = 3^3 - 2^3 = 19 bulunur. İstenen toplam 19+3+2=2419+3+2=24 olur.

Step-by-Step Solution

1
b3−c3b^3 - c^3 ifadesini çarpanlarına ayırma özdeşliği kullanarak yazma.
a=(b−c)⋅(b2+b⋅c+c2)a = (b - c) \cdot (b^2 + b \cdot c + c^2)
İki küp farkı özdeşliği: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) şeklindedir.
2
aa sayısının asal sayı olma özelliğini kullanarak çarpanları analiz etme.
b−c=1b - c = 1 olmalıdır.
aa bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri 1, diğeri kendisi (aa) olmalıdır. İkinci çarpan (b2+bc+c2)(b^2 + bc + c^2) pozitif tam sayılar için 1'den büyük olacağından, küçük çarpan olan (b−c)(b-c) 1'e eşit olmalıdır.
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları belirleme.
b=3b = 3 ve c=2c = 2
Tüm asal sayılar içerisinde aralarındaki fark 1 olan (ardışık) tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. (Diğer tüm asal sayılar tektir ve aralarındaki fark en az 2'dir).
4
aa sayısının değerini hesaplama.
a=33−23=27−8=19a = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19
Bulunan bb ve cc değerleri denklemde yerine konulur.
5
Sonuçların toplamını bulma.
a+b+c=19+3+2=24a + b + c = 19 + 3 + 2 = 24
Soru a+b+ca+b+c toplamını istemektedir.

Key Concept

Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayılar 2 ve 3'tür.

Hints

1
b3−c3b^3 - c^3 ifadesini (b−c)(b2+bc+c2)(b-c)(b^2+bc+c^2) özdeşliği ile çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
aa sayısı asal olduğuna göre, çarpanlarından biri mutlaka 1 olmalıdır. Hangi çarpanın 1 olabileceğini düşünün.
3
b−c=1b - c = 1 olmalıdır. Aralarındaki fark 1 olan (ardışık) asal sayılar sadece 3 ve 2'dir.

Practice More

Benzer mantıkla a=b2−c2a = b^2 - c^2 eşitliğinde asal sayıları inceleyen bir soru çözülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic