Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Problemleri

Bir üniversitenin araştırma merkezinde yürütülen 90 adet proje; 'TÜBİTAK', 'Avrupa Birliği' ve 'Sanayi İşbirliği' olmak üzere üç farklı destek programından en az birinden onay almıştır. Bu projelerin onay durumları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* Sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısı, her üç programdan da onay alan proje sayısının 4 katıdır.
* Sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, en az iki farklı programdan onay alan projelerin toplam sayısının 2 katıdır.

Buna göre, sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısından kaç fazladır?

  1. A
    24
  2. B
    30
  3. 36Answer
  4. D
    42
  5. E
    48

Answer

Sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısından 36 fazladır.
Verilen bilgilere göre her üç onayı alanlara kk dediğimizde, sadece iki onayı alanlar 4k4k olur. 'En az iki onay alanlar' bu ikisinin toplamı olan 5k5k'dır. Sadece tek onay alanlar ise bunun 2 katı yani 10k10k'dır. Toplam proje sayısı 15k=9015k = 90 olduğundan k=6k=6 bulunur. İstenen fark 10k−4k=6k=3610k - 4k = 6k = 36 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin eleman sayılarını değişkenlerle ifade et.
Her üç programdan onay alan proje sayısına kk diyelim. Sadece iki programdan onay alanların sayısı 4k4k olur.
Sorudaki birinci koşul kullanılarak değişkenler arasındaki ilişki kurulur.
2
'En az iki' ifadesini matematiksel olarak tanımla.
En az iki programdan onay alanlar = (Sadece iki programdan onay alanlar) + (Her üç programdan onay alanlar) = 4k+k=5k4k + k = 5k.
'En az' kavramı, belirtilen sayı ve üzerini kapsar.
3
Sadece tek bir programdan onay alanların sayısını bul.
Sadece tek programdan onay alanlar, en az iki programdan onay alanların (5k5k) 2 katıdır. Yani 2×5k=10k2 \times 5k = 10k.
Sorudaki ikinci koşul kullanılarak tüm gruplar kk cinsinden ifade edilir.
4
Toplam proje sayısı üzerinden denklemi kur ve çöz.
Toplam = (Sadece tek) + (Sadece iki) + (Her üçü) = 10k+4k+k=15k10k + 4k + k = 15k. 15k=9015k = 90 ise k=6k = 6 bulunur.
Tüm alt kümelerin birleşimi evrensel kümeyi (toplam proje sayısı) verir.
5
İstenen farkı hesapla.
Sadece tek onay alan (10k=6010k = 60) - Sadece iki onay alan (4k=244k = 24) = 60−24=3660 - 24 = 36.
Bulunan kk değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kümelerle Problem Çözümü (Venn Şeması Mantığı)

Hints

1
Projeleri üç gruba ayırarak düşünün: Sadece 1 onay alanlar, sadece 2 onay alanlar ve 3 onay alanlar.
2
3 onay alanların sayısına xx (veya kk) diyerek diğer grupları bu değişken cinsinden yazmaya çalışın. 'En az iki' ifadesinin, 'sadece iki' ve 'üçü birden' gruplarını kapsadığını unutmayın.
3
Toplam proje sayısı (90), şu denkleme eşittir: (Sadece 1 onay) + (Sadece 2 onay) + (3 onay). Değişkenlerinizi yerine koyarak 15k=9015k = 90 denklemini çözün.

Practice More

Benzer mantıkla, 'en çok iki' ifadesini içeren ve evrensel kümenin dışında (hiçbiri) eleman bulunan bir problem çözünüz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek her bölgeye değişken atamak (aa, bb, cc gibi) ve verilen sözel ifadeleri bu bölgelerin toplamı olarak yazmak görsel çözüm sağlar.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic