Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Alan

ABC bir üçgen, G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. G noktasından geçen ve [BC] kenarına paralel olan doğru, [AB] kenarını D, [AC] kenarını E noktasında kesmektedir. ADE üçgeninin alanı 24 cm 2^2 olduğuna göre, BCED dörtgeninin alanı kaç cm 2^2'dir?

  1. A
    12
  2. B
    24
  3. 30Answer
  4. D
    36
  5. E
    54

Answer

BCED dörtgeninin alanı 30 cm 2^2'dir.
Ağırlık merkezi kenarortayı 2'ye 1 oranında böler, bu da ADE ve ABC üçgenleri arasında 2/3'lük bir benzerlik oranı oluşturur. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (4/9) olduğundan, ADE üçgeni 4 birim, ABC üçgeni 9 birim alanı temsil eder. 4 birim 24 ise, tamamı 54, aradaki BCED dörtgeni ise 30 cm 2^2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Ağırlık merkezi özelliğini kullan.
G ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim oranında böler (|AG| = 2k, |GM| = k).
Üçgende benzerlik oranını belirlemek için kenar oranlarına ihtiyaç vardır.
2
Benzerlik oranını kur.
ADE ve ABC üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı k = |AG| / |AM| = 2k / 3k = 2/3'tür.
Paralellikten dolayı (Temel Benzerlik Teoremi) küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir.
3
Alanlar oranını hesapla.
Alan(ADE) / Alan(ABC) = k 2^2 = (2/3)2^2 = 4/9.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
4
Alanları orantıla ve bilinmeyeni bul.
Alan(ADE) = 4S = 24 ise S = 6 olur. Alan(ABC) = 9S = 9 * 6 = 54 cm 2^2.
Verilen alan değeri üzerinden orantı sabiti (S) bulunur.
5
İstenen bölgenin alanını hesapla.
Alan(BCED) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 54 - 24 = 30 cm 2^2.
Yamuğun alanı, büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanı çıkarılarak bulunur.

Key Concept

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k 2^2 ilişkisi).

Practice More

Benzerlik oranının 1/2 olduğu (orta taban) durumunda alanların S, 3S, 5S şeklinde arttığı soruları inceleyin.

Alternative Method

S formülü ile pratik yol: Benzerlik oranı 2/3 ise alanlar 4S, 9S şeklinde dağılır. Üstteki üçgen 4S, alttaki dörtgen 9S-4S=5S olur. 4S=24 ise S=6, 5S=30.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic