Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar
a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.
a<b<ca < b < c olmak üzere,
a⋅b+a⋅c=3a2+12a \cdot b + a \cdot c = 3a^2 + 12

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. 14Answer
  3. C
    16
  4. D
    19
  5. E
    20

Answer

a=2, b=5 ve c=7 değerleri için toplam 14 bulunur.
Verilen denklem düzenlendiğinde b+c=3a+12/ab+c = 3a + 12/a elde edilir. a bir asal sayı olduğundan 12'yi bölen asal sayılar (2 ve 3) denenir. Sadece a=2 değeri için elde edilen b=5 ve c=7 asalları sorudaki a<b<ca<b<c sıralama şartını sağlar. Bu sayıların toplamı 14'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği a ortak parantezine alarak düzenle.
a(b+c)=3a2+12a(b + c) = 3a^2 + 12
Değişkenleri analiz etmek için çarpım formuna getirmek gerekir.
2
Her iki tarafı a sayısına bölerek b + c ifadesini yalnız bırak.
b+c=3a+12ab + c = 3a + \frac{12}{a}
b ve c tam sayı (asal sayı) olduğu için, eşitliğin sağ tarafındaki 12a\frac{12}{a} ifadesi de tam sayı olmalıdır.
3
a sayısının alabileceği asal değerleri belirle.
12'yi tam bölen asal sayılar: 2 ve 3.
a bir asal sayıdır ve 12'nin böleni olmalıdır.
4
a = 2 durumu için b ve c değerlerini kontrol et.
b+c=3(2)+122=6+6=12b + c = 3(2) + \frac{12}{2} = 6 + 6 = 12. Toplamı 12 olan farklı asal sayılar (5, 7) çiftidir.
a < b < c koşuluna bakıldığında 2<5<72 < 5 < 7 eşitsizliği sağlanır. Bu durum geçerlidir.
5
a = 3 durumu için b ve c değerlerini kontrol et.
b+c=3(3)+123=9+4=13b + c = 3(3) + \frac{12}{3} = 9 + 4 = 13. Toplamı 13 olan asallar (2, 11) olabilir.
a < b < c koşuluna bakıldığında 3<2<113 < 2 < 11 eşitsizliği SAĞLANMAZ. Bu durum geçersizdir.
6
Geçerli değerleri topla.
a+b+c=2+5+7=14a + b + c = 2 + 5 + 7 = 14
Tek geçerli çözüm kümesi a=2, b=5, c=7'dir.

Key Concept

Asal sayılar kümesinde tanımlı denklemlerde, bölünebilme kuralları ve sıralama eşitsizlikleri (a<b<c) kullanılarak çözüm kümesi daraltılır.

Hints

1
Eşitliğin sol tarafını a parantezine alarak b+c ifadesini yalnız bırakmaya çalışın.
2
Elde ettiğiniz b+c=3a+12ab+c = 3a + \frac{12}{a} ifadesinde, sonucun tam sayı olması için a'nın 12'yi bölen bir asal sayı olması gerektiğini kullanın.
3
a için olası değerler 2 ve 3'tür. Her iki durumu deneyip a<b<ca < b < c sıralamasını sağlayan tek durumu belirleyin.

Practice More

Benzer bir mantıkla, p(q−r)=19p(q-r) = 19 gibi çarpım durumundaki asal sayı sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemde a'nın katsayılarına bakarak a'nın küçük bir asal sayı olması gerektiği tahmin edilebilir. a=2 denenerek doğrudan çözüm aranabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic