Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Yardımcı Elemanlar

ABC bir üçgen, [AN][AN] iç açıortaydır.

∣AB∣=6 cm|AB| = 6 \text{ cm}
∣AC∣=12 cm|AC| = 12 \text{ cm}
m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ

Yukarıdaki verilere göre, ∣AN∣|AN| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    3
  2. 4Answer
  3. C
    333\sqrt{3}
  4. D
    272\sqrt{7}
  5. E
    6

Answer

4 santimetredir.
Soruda 120∘120^\circ açısının açıortayı verildiği için açı 60∘−60∘60^\circ-60^\circ bölünür. Bu durumda en pratik yöntem alan parçalamasıdır. Toplam Alan = Parça Alanların Toplamı prensibiyle; 6⋅12=6x+12x6 \cdot 12 = 6x + 12x bağıntısı elde edilir ve buradan açıortay uzunluğu 4 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Problemi analiz et
Verilenler: ∣AB∣=c=6|AB|=c=6, ∣AC∣=b=12|AC|=b=12, m(A^)=120∘m(\widehat{A})=120^\circ ve [AN][AN] iç açıortaydır. Açıortay açıyı 60∘−60∘60^\circ - 60^\circ olarak böler. İstenen: ∣AN∣=x|AN|=x.
Geometrik şekli ve verilen değerleri çözüm yöntemine hazırlamak için tanımlama yapılır.
2
Alan formülü yöntemini uygula (Alternatif 1 - Pratik Yol)
A(ABC)=A(ABN)+A(ANC)A(ABC) = A(ABN) + A(ANC) eşitliği yazılır. Sinüs alan formülü kullanılır: 12⋅6⋅12⋅sin⁡(120∘)=12⋅6⋅x⋅sin⁡(60∘)+12⋅12⋅x⋅sin⁡(60∘)\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x \cdot \sin(60^\circ) + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot x \cdot \sin(60^\circ)
Açılar bilindiğinde (60∘60^\circ ve 120∘120^\circ) alan yöntemi, uzun kosinüs teoremi işlemlerinden çok daha hızlı sonuç verir.
3
Denklemi sadeleştir ve çöz
sin⁡(120∘)=sin⁡(60∘)\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) olduğundan her iki taraftaki 12sin⁡(60∘)\frac{1}{2}\sin(60^\circ) ifadeleri sadeleşir. Geriye kalan: 6⋅12=6x+12x6 \cdot 12 = 6x + 12x 72=18x72 = 18x x=4x = 4
Matematiksel işlemi tamamlayarak bilinmeyen uzunluğu bulmak.

Key Concept

Özel açılı üçgenlerde iç açıortay uzunluğunu bulmak için Alan Yöntemi veya Cosinüs Teoremi ile Açıortay Uzunluk Formülü kombinasyonu kullanılır.

Hints

1
Verilen 120∘120^\circ açısı, açıortay tarafından iki adet 60∘60^\circ'lik açıya bölünür. Sinüs alan formülünü hatırlayın.
2
Üçgenin toplam alanını, açıortayın ayırdığı iki küçük üçgenin alanları toplamı şeklinde yazabilirsiniz: A(ABC)=A(ABN)+A(ANC)A(ABC) = A(ABN) + A(ANC).

Practice More

Benzer bir soruyu 90∘90^\circ (dik üçgen) açıortayı için çözerek Pisagor bağıntısı ile ilişkinizi pekiştirin.

Alternative Method

Cosinüs Teoremi Yöntemi: Önce büyük üçgende Cosinüs teoremi ile ∣BC∣|BC| bulunur (∣BC∣=67|BC|=6\sqrt{7}). Sonra Açıortay Teoremi ile taban kk ve 2k2k olarak ayrılır (272\sqrt{7} ve 474\sqrt{7}). Son olarak Açıortay Uzunluk Formülü (x2=b⋅c−m⋅nx^2 = b\cdot c - m \cdot n) uygulanır: x2=6⋅12−27⋅47=72−56=16⇒x=4x^2 = 6 \cdot 12 - 2\sqrt{7} \cdot 4\sqrt{7} = 72 - 56 = 16 \Rightarrow x=4.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic