Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Benzerlik

ABCABC bir üçgendir. [AB][AB] kenarı üzerinde DD, [AC][AC] kenarı üzerinde EE noktası alınmıştır ve [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir.

[BE][BE] ve [CD][CD] doğru parçaları KK noktasında kesişmektedir.

Alan(△DEK)=4 cm2Alan(\triangle DEK) = 4 \text{ cm}^2 ve Alan(△BCK)=16 cm2Alan(\triangle BCK) = 16 \text{ cm}^2 olduğuna göre, Alan(△ABC)Alan(\triangle ABC) kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    36
  2. B
    40
  3. C
    44
  4. 48Answer
  5. E
    64

Answer

48
Verilen 44 ve 1616 cm 2^2'lik alanlar, [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için 'kelebek' benzerliği oluşturur. Alan oranı 4/16=1/44/16=1/4 olduğundan benzerlik oranı 1/21/2'dir. Bu oran aynı zamanda temel üçgen benzerliği (△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC) oranıdır. Yamuğun yan alanları 4⋅16=8\sqrt{4 \cdot 16} = 8'er cm 2^2 bulunur, yamuk toplam alanı 3636 olur. Temel benzerlik oranı 1/21/2 olduğundan alan oranı 1/41/4'tür; yani üstteki küçük üçgen tüm alanın çeyreğidir, kalan yamuk ise 3/43/4'üdür. 3/43/4'ü 3636 olan alanın tamamı 4848 cm 2^2'dir.

Step-by-Step Solution

1
Benzer üçgenleri belirle ve benzerlik oranını bul.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için △DEK∼△CBK\triangle DEK \sim \triangle CBK (Kelebek/Kum saati benzerliği). Alanlar oranı 416=14\frac{4}{16} = \frac{1}{4} olduğundan, benzerlik oranı k=14=12k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}'dir. Yani ∣DE∣=k⋅∣BC∣⇒∣DE∣=∣BC∣2|DE| = k \cdot |BC| \Rightarrow |DE| = \frac{|BC|}{2}'dir.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
2
DBCEDBCE yamuğunun toplam alanını hesapla.
Yamukta köşegenlerin ayırdığı alanlar kuralı gereği (Syan=Su¨st⋅SaltS_{yan} = \sqrt{S_{üst} \cdot S_{alt}}), Alan(△DBK)=Alan(△EKC)=4⋅16=8 cm2Alan(\triangle DBK) = Alan(\triangle EKC) = \sqrt{4 \cdot 16} = 8 \text{ cm}^2. Yamuğun toplam alanı: 4+16+8+8=36 cm24 + 16 + 8 + 8 = 36 \text{ cm}^2.
Yamukta köşegenler çizildiğinde, paralel olmayan kenarlara komşu üçgenlerin alanları birbirine eşittir ve bu alan, taban/tavan üçgenlerinin alanlarının geometrik ortalamasıdır.
3
Temel orantı teoremi ile büyük üçgenin alanına geçiş yap.
△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC benzerliğinde oran ∣DE∣∣BC∣=12\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{1}{2}'dir. Alanlar oranı (12)2=14\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} olur.
Temel benzerlik teoremine göre paralel kesen, büyük üçgenle benzer küçük bir üçgen oluşturur.
4
Tüm alan hesabını tamamla.
Alan(△ADE)=AAlan(\triangle ADE) = A ise Alan(△ABC)=4AAlan(\triangle ABC) = 4A olur. Aradaki yamuğun alanı 4A−A=3A4A - A = 3A'dır. 3A=36⇒A=123A = 36 \Rightarrow A = 12. Toplam alan 4A=4⋅12=48 cm24A = 4 \cdot 12 = 48 \text{ cm}^2.
Bütünün alanı, parçaların alanları toplamıdır.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

Hints

1
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için oluşan kelebek (papyon) şeklindeki △DEK\triangle DEK ve △CBK\triangle CBK üçgenlerinin benzerliğini kullanın.
2
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir. Buradan ∣DE∣/∣BC∣|DE|/|BC| oranını bulun.
3
Yamuğun toplam alanını bulduktan sonra, △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC benzerliğini kullanarak tüm üçgenin alanına geçin. (Alanlar oranı yine benzerlik oranının karesi olacaktır).

Practice More

Benzerlik oranının hacimlere etkisini inceleyen katı cisim soruları çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Yamuk özelliklerini kullanmadan: ∣DE∣/∣BC∣=1/2|DE|/|BC| = 1/2 bulunduktan sonra, yükseklikler oranı da 1/21/2 olur. KK noktasının DEDE'ye uzaklığı h1h_1, BCBC'ye uzaklığı h2h_2 olsun. h1/h2=1/2h_1/h_2 = 1/2. Alan formülünden yükseklikleri cinsinden toplam yüksekliği bulup tüm alanı hesaplayabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic