Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar
x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
x⋅(y+z)=2x2+35 x \cdot (y + z) = 2x^2 + 35

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
  1. A
    19
  2. B
    24
  3. 26Answer
  4. D
    28
  5. E
    34

Answer

Sayıların toplamı 26'dır.
Verilen denklem y+z=2x+35/xy+z = 2x + 35/x şeklinde düzenlendiğinde, xx sayısının 35'in asal böleni olması gerektiği görülür (x=5x=5 veya x=7x=7). x=5x=5 durumunda y+z=17y+z=17 olur ancak 17'yi veren asal çift yoktur (2+15, 15 asal değil). x=7x=7 durumunda y+z=19y+z=19 olur, bu da 22 ve 1717 asal sayılarıyla sağlanır. x,y,zx, y, z birbirinden farklı (7,2,177, 2, 17) olduğundan çözüm geçerlidir. Toplamları 26'dır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği sadeleştir
x⋅(y+z)=2x2+35x \cdot (y + z) = 2x^2 + 35 ifadesinde her iki tarafı xx'e böl:
y+z=2x+35x y + z = 2x + \frac{35}{x}
yy ve zz tam sayı olduğu için eşitliğin sağ tarafı da tam sayı olmalıdır.
2
xx için olası değerleri belirle
xx asal sayısı 35'i tam bölmelidir. 35'in asal çarpanları: 5 ve 7. O halde x=5x=5 veya x=7x=7 olabilir.
Bir asal sayı, ancak kendisinin katlarını tam böler.
3
x=5x=5 durumunu sına
y+z=2(5)+35/5=10+7=17y + z = 2(5) + 35/5 = 10 + 7 = 17. Toplamları 17 olan iki asal sayı arıyoruz. Tek sayı (17) elde etmek için biri 2 olmalıdır (çünkü tüm diğer asallar tektir ve tek+tek=çift olur). 2+15=172 + 15 = 17. Ancak 15 asal değildir.
x=5x=5 için çözüm yoktur.
4
x=7x=7 durumunu sına
y+z=2(7)+35/7=14+5=19y + z = 2(7) + 35/7 = 14 + 5 = 19. Toplamları 19 olan asallar: Biri 2 olmalıdır. 2+17=192 + 17 = 19. 2 ve 17 asaldır. Sayılar: x=7,y=2,z=17x=7, y=2, z=17 (veya y=17,z=2y=17, z=2).
Bu değerler birbirinden farklı asal sayı şartını sağlar (2,7,172, 7, 17).
5
Toplamı hesapla
x+y+z=7+2+17=26x + y + z = 7 + 2 + 17 = 26.
Bulunan tek geçerli çözüm kümesinin toplamı.

Key Concept

Asal sayılarla bölünebilme ve asalların toplamında teklik-çiftlik (parite) analizi.

Hints

1
Eşitliğin her iki tarafını xx parantezine almayı veya xx'e bölerek y+zy+z'yi yalnız bırakmayı deneyin.
2
y+z=2x+35/xy+z = 2x + 35/x elde edeceksiniz. Burada 35/x35/x ifadesinin tam sayı olması için xx hangi asal değerleri alabilir?
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic