Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar
a,ba, b ve cc asal sayılardır.
a⋅(b+c)=75 a \cdot (b + c) = 75

eşitliği verilmektedir. Buna göre a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    20
  2. B
    24
  3. C
    26
  4. 28Answer
  5. E
    30

Answer

Toplamın alabileceği en büyük değer 28'dir.
Verilen eşitlikte çarpım tek sayı (75) olduğundan çarpanların hepsi tek olmalıdır. aa bir asal sayı olduğu için 75'in asal çarpanları olan 3 veya 5 olabilir. Ayrıca b+cb+c toplamı da tek sayı olmalıdır. İki sayının toplamının tek olması için biri tek, biri çift olmalıdır. Asal sayılar içinde çift olan tek sayı 2'dir. Bu durumda bb veya cc'den biri kesinlikle 2'dir. İki senaryo oluşur: a=3a=3 için b+c=25b+c=25 (2+23 asaldır, toplam 28) ve a=5a=5 için b+c=15b+c=15 (2+13 asaldır, toplam 20). En büyük değer 28'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği analiz et
aa sayısı 75'in bir asal çarpanı olmalıdır. 75'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. Yani a=3a = 3 veya a=5a = 5 olabilir.
Bir asal sayı ile bir tamsayının çarpımı 75 ise, bu asal sayı 75'i tam bölmelidir.
2
Teklik-Çiftlik durumunu incele
Çarpım 75 (tek sayı) olduğundan, çarpanların her ikisi de tek olmalıdır. Yani (b+c)(b+c) tek sayıdır. İki asal sayının toplamının tek olabilmesi için, bunlardan biri çift (yani 2), diğeri tek olmalıdır.
Tek sayı ×\times Tek sayı = Tek sayı. Tek + Tek = Çift olacağından, toplamın tek olması için sayılardan biri çift olmak zorundadır.
3
Olası durumları hesapla
1. Durum (a=3a=3): b+c=25b+c = 25. b=2b=2 ise c=23c=23 (Asal). Toplam: 3+2+23=283+2+23 = 28.
2. Durum (a=5a=5): b+c=15b+c = 15. b=2b=2 ise c=13c=13 (Asal). Toplam: 5+2+13=205+2+13 = 20.
Her iki durumu da test edip asal sayı şartlarını sağlayan kümeleri bulmak gerekir.
4
Karşılaştırma yap
Bulunan toplamlar 20 ve 28'dir. En büyük değer 28'dir.
Soru bizden olası en büyük toplamı istemektedir.

Key Concept

Asal sayılarla işlemlerde teklik-çiftlik analizi (özellikle 2'nin tek çift asal sayı olması)

Hints

1
75 sayısı tek bir sayıdır. Çarpımları tek olan sayıların her biri tek olmalıdır.
2
b+cb+c toplamı tek sayı olmalıdır. Asal sayılar içinde çift olan sadece 2 sayısı vardır.
3
aa sayısı 75'in asal çarpanı olmalıdır (3 veya 5). Her iki durumu deneyerek bb ve cc'nin asal olup olmadığını kontrol edin.

Practice More

Çarpımları çift sayı olan asal sayı sorularında 2 çarpanının rolünü inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic