Examkin

Question

Difficulty: Very hardKatı Cisimler

Yarıçapı 12 birim olan daire biçimindeki bir kağıttan, merkez açısının ölçüsü 120∘120^\circ olan bir daire dilimi kesilip çıkarılıyor. Bu dilim, kesik yarıçapları (AO ve BO) çakıştırılarak dik dairesel bir koni elde ediliyor.

Elde edilen bu koninin içine, hem tabanına hem de yan yüzeylerine teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük kürenin hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3223π\frac{32\sqrt{2}}{3}\pi
  2. B
    32π32\pi
  3. 6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\piAnswer
  4. D
    12823π\frac{128\sqrt{2}}{3}\pi
  5. E
    642π64\sqrt{2}\pi

Answer

6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\pi
Daire dilimi koniye dönüştürüldüğünde taban yarıçapı r=4r=4 ve yüksekliği h=82h=8\sqrt{2} bulunur. Bu koninin içine teğet olan kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapıdır (ρ=22\rho=2\sqrt{2}). Hacim formülü uygulandığında sonuç 6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\pi olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Daire diliminden koniye geçiş parametrelerini belirle.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusu olur: l=12l = 12. Daire diliminin yay uzunluğu koninin taban çevresine eşittir: 120360⋅2π(12)=8π\frac{120}{360} \cdot 2\pi(12) = 8\pi. Buradan koni taban yarıçapı 2πr=8π⇒r=42\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4 birim bulunur.
Koninin temel elemanlarını (yarıçap ve ana doğru) bulmak için.
2
Koninin yüksekliğini (hh) hesapla.
Pisagor bağıntısı ile (h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2): h2+42=122⇒h2+16=144⇒h=128=82h^2 + 4^2 = 12^2 \Rightarrow h^2 + 16 = 144 \Rightarrow h = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} birim.
Koninin içine çizilecek kürenin yarıçapını bulmak için dikey kesit yüksekliğine ihtiyaç vardır.
3
Koninin içine yerleştirilen en büyük kürenin yarıçapını (ρ\rho) bul.
Koninin dikey kesiti, tabanı 8 birim, kenarları 12 birim olan bir ikizkenar üçgendir. Küre, bu üçgenin iç teğet çemberine karşılık gelir. Alan formülü ile: Üçgen Alanı = taban⋅yu¨kseklik2=8⋅822=322\frac{taban \cdot yükseklik}{2} = \frac{8 \cdot 8\sqrt{2}}{2} = 32\sqrt{2}. Yarı çevre u=12+12+82=16u = \frac{12+12+8}{2} = 16. İç yarıçap ρ=Alanu=32216=22\rho = \frac{Alan}{u} = \frac{32\sqrt{2}}{16} = 2\sqrt{2} birim.
Küre hacmini hesaplamak için yarıçap gereklidir.
4
Kürenin hacmini hesapla.
V=43πρ3=43π(22)3=43π(162)=6423πV = \frac{4}{3}\pi \rho^3 = \frac{4}{3}\pi (2\sqrt{2})^3 = \frac{4}{3}\pi (16\sqrt{2}) = \frac{64\sqrt{2}}{3}\pi birimküp.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Koni Açınımı ve İç Teğet Küre

Hints

1
Daire diliminin yay uzunluğu, oluşturulacak koninin taban çevresine eşittir.
2
Koninin tepe noktasından taban merkezine inen dikme ve taban yarıçapı ile bir dik üçgen oluşturarak koni yüksekliğini bulun.
3
Koninin dikey kesitini (ikizkenar üçgen) çizin. Küre bu üçgenin iç teğet çemberidir. Alan=u⋅rAlan = u \cdot r formülünü kullanarak küre yarıçapını hesaplayın.

Practice More

Benzer bir koninin içine yerleştirilebilecek en büyük küpün hacmini soran bir soru çözerek katı cisimlerde iç içe geçme mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: Taban açısına α\alpha dersek, tan⁡(α/2)=ρ/r\tan(\alpha/2) = \rho / r bağıntısı kullanılabilir ancak yarım açı formülleri gerektireceğinden alan formülü daha pratiktir.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic