Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri
EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:
s(A)=14 s(A) = 14
s(A′)=20 s(A') = 20
s(B)=16 s(B) = 16
s(A∖B)=8 s(A \setminus B) = 8

Buna göre, s(A′∩B′)s(A' \cap B') değeri kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    12
  5. E
    14

Answer

İstenen kümenin eleman sayısı 10'dur.
Soruyu çözmek için önce evrensel kümenin eleman sayısı bulunur: s(E)=s(A)+s(A′)=14+20=34s(E) = s(A) + s(A') = 14 + 20 = 34. Daha sonra AA kümesinin eleman sayısı formülünden kesişim kümesi elde edilir: s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)⇒14=8+s(A∩B)⇒s(A∩B)=6s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) \Rightarrow 14 = 8 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 6. Birleşim kümesi formülü ile s(A∪B)=14+16−6=24s(A \cup B) = 14 + 16 - 6 = 24 bulunur. Son olarak, De Morgan kuralı gereği s(A′∩B′)=s((A∪B)′)s(A' \cap B') = s((A \cup B)') olduğundan, bu değer evrensel kümeden birleşim kümesinin çıkarılmasıyla 34−24=1034 - 24 = 10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Evrensel kümenin eleman sayısını bulmak için s(A)s(A) ve s(A′)s(A') değerlerini toplayın.
s(E)=s(A)+s(A′)=14+20=34s(E) = s(A) + s(A') = 14 + 20 = 34
Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi oluşturur.
2
A∩BA \cap B kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak için s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) eşitliğini kullanın.
14=8+s(A∩B)⇒s(A∩B)=614 = 8 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 6
AA kümesi, AA'nın BB'den farkı ile kesişimlerinin birleşimidir.
3
A∪BA \cup B birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=14+16−6=24s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 14 + 16 - 6 = 24
Birleşim formülü: İki kümenin eleman sayıları toplamından kesişimleri çıkarılır.
4
De Morgan kuralını kullanarak s(A′∩B′)s(A' \cap B') ifadesini s((A∪B)′)s((A \cup B)') olarak yazın ve sonucu bulun.
s((A∪B)′)=s(E)−s(A∪B)=34−24=10s((A \cup B)') = s(E) - s(A \cup B) = 34 - 24 = 10
İstenen ifade, birleşim kümesinin tümleyenine eşittir.

Key Concept

De Morgan Kuralları ve Kümelerde Kardinalite Problemleri

Hints

1
Öncelikle s(E)=s(A)+s(A′)s(E) = s(A) + s(A') eşitliğini kullanarak evrensel kümenin eleman sayısını bulunuz.
2
s(A∖B)s(A \setminus B) bilgisini kullanarak s(A∩B)s(A \cap B) değerini hesaplayınız.
3
De Morgan kuralını hatırlayınız: A′∩B′=(A∪B)′A' \cap B' = (A \cup B)'. Bu nedenle önce s(A∪B)s(A \cup B) değerini bulup evrensel kümeden çıkarınız.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak üç küme içeren veya alt küme bağıntısı verilen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Venn şeması çizerek her bir bölgeye değişken atayınız (x, y, z, t). x+z=14x+z=14, y+t=20y+t=20 (A dışı), z+y=16z+y=16 (B), x=8x=8 (A fark B). Bu denklem sistemini çözerek tt (A' kesişim B') değerini bulabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic