E evrensel kümesinin boş olmayan A ve B alt kümeleri için, K = [(A \cup B') \setminus (A \… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

E

evrensel kümesinin boş olmayan

A

B

alt kümeleri için,

K = [(A \cup B') \setminus (A \setminus B)] \cap B

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

$A \cap B$ Answer
B
$B \setminus A$
C
$B$
D
$\emptyset$
E
$A \cup B$

Answer

İfadenin en sade hali

A \cap B

kümesidir.

Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; ilk kısım evrensel kümeden simetrik farkın çıkarılmasına (veya kesişim ile dış bölgenin birleşimine) denk gelir. Bu küme ile

B

kümesi kesiştirildiğinde, geriye sadece hem

A

'da hem de

B

'de olan elemanlar, yani

A \cap B

kalır.

Step-by-Step Solution

Fark işlemini kesişim cinsinden ifade etme

A \setminus B = A \cap B'

X \setminus Y = X \cap Y'

kurallarını kullanalım. İfade:

(A \cup B') \cap (A \setminus B)'

haline gelir.

Küme cebiri işlemlerini yapabilmek için fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmak gerekir.

De Morgan kuralını uygulama

(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B

olur. İfade şimdi:

[(A \cup B') \cap (A' \cup B)] \cap B

şeklindedir.

Parantezin tümleyenini içeri dağıtarak işlemi basitleştirmek için.

Dağılma özelliği veya bölge analizi yapma

[(A \cup B') \cap (A' \cup B)]

ifadesi,

(A \cap B) \cup (A \cup B)'

kümesine eşittir (veya sadece bölgeler düşünüldüğünde: 'Sadece B' ve 'Sadece A' bölgeleri dışındaki her yer).

Bu ifadeyi basitleştirmek sonraki kesişim işlemi için gereklidir.

Sonuç ile B kümesini kesiştirme

[(A \cap B) \cup (A \cup B)'] \cap B

. Dağılma özelliği ile:

(A \cap B \cap B) \cup ((A \cup B)' \cap B)

(A \cap B) \cap B = A \cap B

olur.

(A \cup B)' \cap B = \emptyset

(çünkü B kümesi

(A \cup B)'

ile ayrıktır).

Sonuç:

(A \cap B) \cup \emptyset = A \cap B

Key Concept

Küme işlemlerinde fark (

A \setminus B = A \cap B'

) ve De Morgan kurallarının sembolik mantık ile uygulanması.

Hints

İfadedeki fark işlemlerini (

X \setminus Y

) kesişim ve tümleme cinsinden (

X \cap Y'

) yazarak işe başlayın.

(A \setminus B)'

ifadesini De Morgan kuralı ile açın:

(A \cap B')' = A' \cup B

İfadeyi Venn şeması üzerinde bölgeler vererek düşünün:

A \cup B'

kümesinden

A \setminus B

(sadece A) bölgesini çıkarırsanız geriye ne kalır?

Alternative Method

Venn şeması çizerek bölgeleri numaralandırın (1: Sadece A, 2: Kesişim, 3: Sadece B, 4: Dışarı).

(A \cup B')

{1,2,4} bölgeleridir.

(A \setminus B)

{1} bölgesidir. Farkları {2,4} olur. Bu kümeyi B kümesi {2,3} ile kesiştirirseniz geriye sadece {2} yani kesişim kalır.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Topics

More questions from this topic