Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Benzerlik

Şekildeki ABCABC üçgeninde; D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[BC]F \in [BC] noktaları belirlenmiştir. BDEFBDEF dörtgeni bir paralelkenardır.

ADEADE üçgeninin alanı 8 cm² ve EFCEFC üçgeninin alanı 18 cm² olduğuna göre, BDEFBDEF paralelkenarının alanı kaç cm² dir?

  1. A
    12
  2. 24Answer
  3. C
    26
  4. D
    32
  5. E
    50

Answer

BDEF paralelkenarının alanı 24 cm² dir.
Verilen yapıda ADEADE ve EFCEFC üçgenleri büyük ABCABC üçgenine benzerdir. Benzerlik oranları tabanlar üzerindeki paylarına göre belirlenir. BDEFBDEF paralelkenar olduğundan, ∣DE∣+∣FC∣=∣BC∣|DE| + |FC| = |BC| eşitliği sağlanır. Bu durum, Stoplam=S1+S2\sqrt{S_{toplam}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} bağıntısını doğurur. 8+18=22+32=52\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} olduğundan, toplam alan 50 cm²'dir. Paralelkenarın alanı ise 50−(8+18)=2450 - (8+18) = 24 cm² olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Paralelliklerden dolayı oluşan benzer üçgenleri belirle.
DE∥BCDE \parallel BC olduğu için △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC ve EF∥ABEF \parallel AB olduğu için △EFC∼△ABC\triangle EFC \sim \triangle ABC benzerlikleri vardır.
Paralel doğrular yöndeş açılar oluşturur, bu da Açı-Açı benzerliğini sağlar.
2
Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişkiyi kullan.
Benzerlik oranı (kk), alanlar oranının kareköküne eşittir. ∣DE∣∣BC∣=Alan(ADE)Alan(ABC)\frac{|DE|}{|BC|} = \sqrt{\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}} ve ∣FC∣∣BC∣=Alan(EFC)Alan(ABC)\frac{|FC|}{|BC|} = \sqrt{\frac{Alan(EFC)}{Alan(ABC)}}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir (k2k^2).
3
Taban uzunlukları arasındaki ilişkiyi kur.
BDEFBDEF bir paralelkenar olduğundan ∣DE∣=∣BF∣|DE| = |BF|'dir. Dolayısıyla ∣BC∣=∣BF∣+∣FC∣=∣DE∣+∣FC∣|BC| = |BF| + |FC| = |DE| + |FC| olur.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.
4
Alan formülünü uygula ve toplam alanı bul.
Alan(ABC)=Alan(ADE)+Alan(EFC)⇒Alan(ABC)=8+18=22+32=52\sqrt{Alan(ABC)} = \sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} \Rightarrow \sqrt{Alan(ABC)} = \sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}. Buradan Alan(ABC)=(52)2=50Alan(ABC) = (5\sqrt{2})^2 = 50 cm².
Bu özel geometrik yapıda büyük üçgenin alanının karekökü, küçük üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamına eşittir.
5
Paralelkenarın alanını hesapla.
Alan(BDEF)=Alan(ABC)−[Alan(ADE)+Alan(EFC)]=50−(8+18)=50−26=24Alan(BDEF) = Alan(ABC) - [Alan(ADE) + Alan(EFC)] = 50 - (8 + 18) = 50 - 26 = 24 cm².
Toplam alandan bilinen parçaların alanlarını çıkararak bilinmeyen bölgeyi buluruz.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

Hints

1
Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu ve bu paralelliğin üçgenlerde benzerlik oluşturduğunu hatırlayın.
2
ADEADE üçgeni ve EFCEFC üçgeni, büyük ABCABC üçgenine benzerdir. Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Alan(ADE)+Alan(EFC)=Alan(ABC)\sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} = \sqrt{Alan(ABC)} formülünü kullanarak önce tüm alanı bulun, sonra parçaları çıkarın.

Practice More

Benzer bir kurguda, alanlar yerine benzerlik oranı verilip alanların istendiği bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Pratik Yol: Bu tip sorularda paralelkenarın alanı, verilen üçgen alanlarının çarpımının karekökünün 2 katına eşittir: Alan=2⋅S1⋅S2Alan = 2 \cdot \sqrt{S_1 \cdot S_2}. Burada 2⋅8⋅18=2⋅144=2⋅12=242 \cdot \sqrt{8 \cdot 18} = 2 \cdot \sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic