Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC]'dir. Üçgenin GG ağırlık merkezi, hipotenüse ait kenarortay doğrusu üzerindedir. AA köşesi ile GG noktası arasındaki uzaklık ∣AG∣=(3x−4)|AG| = (3x - 4) cm ve GG noktası ile hipotenüs üzerindeki kenarortay ayağı DD arasındaki uzaklık ∣GD∣=x|GD| = x cm olarak verilmiştir. Buna göre, ABCABC üçgeninin hipotenüs uzunluğu (∣BC∣|BC|) kaç santimetredir?

  1. A
    12
  2. B
    16
  3. C
    20
  4. 24Answer
  5. E
    36

Answer

24 santimetredir
Dik üçgende ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (∣AG∣=2∣GD∣|AG|=2|GD|) ve hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü). Denklemden x=4x=4 bulunur, kenarortay 12 cm olur, hipotenüs ise 24 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Ağırlık merkezi özelliğini kullan
∣AG∣=2⋅∣GD∣|AG| = 2 \cdot |GD| bağıntısını kur: 3x−4=2x3x - 4 = 2x
Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.
2
Denklemi çöz ve x değerini bul
3x−2x=4⇒x=43x - 2x = 4 \Rightarrow x = 4
Bilinmeyeni bulmak için birinci dereceden denklem çözülür.
3
Kenarortay uzunluklarını hesapla
∣GD∣=4|GD| = 4 cm, ∣AG∣=3(4)−4=8|AG| = 3(4) - 4 = 8 cm. Toplam kenarortay ∣AD∣=12|AD| = 12 cm.
Bulunan x değeri yerine konularak parça uzunlukları toplanır.
4
Muhteşem üçlü özelliğini uygula
∣BC∣=2⋅∣AD∣=2⋅12=24|BC| = 2 \cdot |AD| = 2 \cdot 12 = 24 cm
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Key Concept

Muhteşem Üçlü ve Ağırlık Merkezi

Hints

1
Üçgenin ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye olan uzaklığı kenara olan uzaklığının iki katı olacak şekilde böler (kk'ya 2k2k kuralı).
2
∣AG∣=2⋅∣GD∣|AG| = 2 \cdot |GD| eşitliğini kullanarak önce xx değerini, sonra kenarortayın tamamını (∣AD∣|AD|) bulun.
3
Dik üçgende 'Muhteşem Üçlü' kuralını hatırlayın: Hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (∣BC∣=2⋅∣AD∣|BC| = 2 \cdot |AD|).

Practice More

Benzer bir soruyu, hipotenüs uzunluğunu verip ağırlık merkezinin köşeye uzaklığını sorarak kurgulayabilirsiniz.

Alternative Method

Ağırlık merkezi kenarortayı 1/3 ve 2/3 oranında böldüğünden, doğrudan 3x−43x-4 ve xx değerlerini oranlayarak denklem kurmadan da oran kontrolü yapılabilir ancak denklem en kesin yoldur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic