Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesi üzerinde uygun koşullarda tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x2−2x)=x24+4x2+3f\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right) = \frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} + 3
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(4)f(4) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    17
  2. B
    19
  3. 21Answer
  4. D
    23
  5. E
    25

Answer

İstenen değer 21'dir.
Verilen fonksiyon f(x2−2x)f\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right) formundadır. Parantez içindeki ifadeye uu denildiğinde, bu ifadenin karesi u2=x24−2+4x2u^2 = \frac{x^2}{4} - 2 + \frac{4}{x^2} olur. Buradan x24+4x2=u2+2\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} = u^2 + 2 bağıntısı elde edilir. Fonksiyon kuralı f(u)=u2+2+3=u2+5f(u) = u^2 + 2 + 3 = u^2 + 5 olarak bulunur. f(4)f(4) için 42+5=214^2 + 5 = 21 sonucu doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun içindeki ifadeye bir değişken atayın.
u=x2−2xu = \frac{x}{2} - \frac{2}{x} olsun.
Karmaşık fonksiyon yapısını f(u)f(u) biçimine dönüştürmek için değişken değiştirmek gerekir.
2
Atanan değişkenin karesini alarak eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyi elde etmeye çalışın.
u2=(x2−2x)2=x24−2⋅x2⋅2x+4x2=x24−2+4x2u^2 = \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{4} - 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = \frac{x^2}{4} - 2 + \frac{4}{x^2}
Tam kare özdeşliği (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 kullanılarak terimler açılır.
3
Elde edilen ifadeyi düzenleyerek f(u)f(u) kuralını yazın.
Bulduğumuz eşitlikten x24+4x2=u2+2\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} = u^2 + 2 olur. Bunu fonksiyonda yerine yazarsak: f(u)=(u2+2)+3=u2+5f(u) = (u^2 + 2) + 3 = u^2 + 5 elde edilir.
Fonksiyonun kuralını uu cinsinden en sade hale getirmek çözüm için gereklidir.
4
İstenen f(4)f(4) değeri için u=4u=4 yazarak sonucu hesaplayın.
f(4)=42+5=16+5=21f(4) = 4^2 + 5 = 16 + 5 = 21
Bulunan genel kuralda istenen değer yerine yazılır.

Key Concept

Değişken Değiştirme ve Özdeşlikler

Hints

1
Fonksiyonun içindeki ifadeye uu diyerek, dışarıdaki ifadeyi uu cinsinden yazmaya çalışın.
2
(x2−2x)2\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^2 ifadesini açın ve sorudaki eşitliğin sağ tarafı ile karşılaştırın.
3
Kare aldığınızda ortadaki terim -2 olacaktır. Buna göre x24+4x2\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} ifadesi u2+2u^2 + 2 ye eşittir.

Practice More

f(x+1/x)f(x + 1/x) formunda verilen ve f(x3+1/x3)f(x^3 + 1/x^3) değeri sorulan küp açılımı soruları çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek çözmek zor olsa da, x2−2x=4\frac{x}{2} - \frac{2}{x} = 4 denklemini sağlayan xx değeri bulunup ana denklemde yerine yazılabilir. Ancak bu yol köklü sayılar içerdiğinden (x=4±25x = 4 \pm 2\sqrt{5}) işlem hatasına daha açıktır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic