Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx tam sayısı için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x)={x−5,x>40f(f(x+6)),x≤40f(x) = \begin{cases} x - 5, & x > 40 \\ f(f(x + 6)), & x \leq 40 \end{cases}

Buna göre, f(24)f(24) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    19
  2. B
    35
  3. 36Answer
  4. D
    40
  5. E
    41

Answer

Fonksiyonun tanımı gereği oluşan zincirleme hesaplamalar sonucunda değer 36 olarak bulunur.
Verilen fonksiyon McCarthy 91 fonksiyonuna benzer bir yapıdadır. x>40x > 40 için f(x)=x−5f(x) = x-5 kuralı, x≤40x \leq 40 için ise f(f(x+6))f(f(x+6)) kuralı geçerlidir. Kritik nokta x=41x=41 değeridir; f(41)=36f(41)=36 olur. x=40x=40 için hesaplandığında f(40)=f(f(46))=f(41)=36f(40)=f(f(46))=f(41)=36 bulunur. Benzer şekilde geriye doğru gidildiğinde, örneğin f(39)=f(f(45))=f(40)=36f(39)=f(f(45))=f(40)=36 olduğu görülür. Bu zincirleme yapı, 40 ve altındaki tam sayıların sonucunun 36'ya sabitlendiğini gösterir. Dolayısıyla f(24)=36f(24)=36 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun davranışını anlamak için sınır değeri olan 40 ve üzerindeki değerleri inceleyelim.
f(41)=41−5=36f(41) = 41 - 5 = 36.
x>40x > 40 olduğu için üstteki kural (x−5x-5) uygulanır.
2
x=40x=40 için fonksiyon değerini hesaplayalım.
f(40)=f(f(46))f(40) = f(f(46)). İçerideki f(46)=46−5=41f(46) = 46 - 5 = 41 olduğundan, f(40)=f(41)=36f(40) = f(41) = 36 olur.
x≤40x \leq 40 kuralı gereği iç içe fonksiyon kullanılır.
3
Bir alt değeri, x=39x=39 için hesaplayalım.
f(39)=f(f(45))f(39) = f(f(45)). f(45)=40f(45) = 40 olduğundan, f(39)=f(40)f(39) = f(40). Önceki adımdan f(40)=36f(40)=36 bulmuştuk, yani f(39)=36f(39)=36.
Geriye doğru gidildikçe sonucun sabitlendiği görülür.
4
Bu örüntüyü f(24)f(24) değerine kadar genişletelim.
f(24)=f(f(30))f(24) = f(f(30)). Eğer f(30)=36f(30)=36 ise sonuç 36 olacaktır. Zincirleme kural gereği 40 ve altındaki sayılar birbirine bağlanarak en sonunda f(41)f(41) değerine, yani 36'ya ulaşır.
Tümevarım mantığıyla x≤41x \leq 41 için f(x)=36f(x)=36 olduğu görülür.

Key Concept

Parçalı ve rekürsif (yinelemeli) fonksiyonlarda değer bulma ve örüntü takibi.

Hints

1
Önce xx değerinin 40'tan büyük olduğu bir durumu, örneğin f(41)f(41) değerini hesaplayın.
2
f(40)f(40) değerini bulmak için tanımı yerine koyun: f(40)=f(f(46))f(40) = f(f(46)). Önce parantez içini çözün.
3
f(40)f(40), f(39)f(39), f(38)f(38) gibi değerlerin hepsi birbirine bağlıdır ve sonunda f(41)f(41) değerine, yani 36'ya ulaşırlar.

Practice More

Benzer yapıda fakat farklı sınırlara sahip f(x)f(x) fonksiyonları tanımlayarak sabit noktayı bulma alıştırması yapın.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic