Examkin

Question

Difficulty: MediumKatı Cisimler

Bir ayrıtının uzunluğu 66 birim olan bir küpün içerisine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi V1V_1 birimküp; bu küpün tüm köşeleri üzerinde bulunacak şekilde dışına çizilebilecek en küçük hacimli kürenin hacmi ise V2V_2 birimküptür. Buna göre, V1V_1 hacminin V2V_2 hacmine oranı kaçtır?

  1. A
    13\frac{1}{3}
  2. B
    33\frac{\sqrt{3}}{3}
  3. 39\frac{\sqrt{3}}{9}Answer
  4. D
    19\frac{1}{9}
  5. E
    127\frac{1}{27}

Answer

Küpün içindeki ve dışındaki kürelerin hacimleri oranı 39\frac{\sqrt{3}}{9} olarak bulunur.
İç teğet kürenin yarıçapı küp ayrıtının yarısı (33 birim), dış teğet kürenin yarıçapı ise cisim köşegeninin yarısıdır (333\sqrt{3} birim). Bu iki küre arasındaki benzerlik oranı k=333=13k = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}'tür. Kürelerin hacim oranı benzerlik oranının küpü olduğundan k3=(13)3=133=39k^3 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İç teğet kürenin yarıçapını (r1r_1) belirleme
r1=3r_1 = 3 birim
Küpün içine sığabilecek en büyük kürenin çapı, küpün bir ayrıt uzunluğuna (a=6a = 6) eşittir. Bu durumda 2r1=62r_1 = 6 olur.
2
V1V_1 hacmini hesaplama
V1=36πV_1 = 36\pi birimküp
Kürenin hacim formülü V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 kullanılarak V1=43π(3)3=43π⋅27=36πV_1 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi bulunur.
3
Dış teğet kürenin yarıçapını (RR) belirleme
R=33R = 3\sqrt{3} birim
Küpün köşelerinden geçen en küçük kürenin çapı, küpün cisim köşegenine (a3a\sqrt{3}) eşittir. a=6a = 6 için çap 636\sqrt{3} birim, dolayısıyla yarıçap R=33R = 3\sqrt{3} birim olur.
4
V2V_2 hacmini hesaplama
V2=1083πV_2 = 108\sqrt{3}\pi birimküp
V2=43π(33)3=43π(27⋅33)=43π(813)=1083πV_2 = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi (27 \cdot 3\sqrt{3}) = \frac{4}{3} \pi (81\sqrt{3}) = 108\sqrt{3}\pi bulunur.
5
Hacimler oranını hesaplama
V1V2=39\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{3}}{9}
36π1083π=133=33⋅3=39\frac{36\pi}{108\sqrt{3}\pi} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{9} işlemiyle sonuç elde edilir.

Key Concept

Küp ve küre ilişkilerinde; iç teğet kürenin çapı ayrıta, dış teğet kürenin çapı cisim köşegenine eşittir.

Hints

1
Kürenin hacmi yarıçapının küpüyle (r3r^3) orantılıdır.
2
İçteki kürenin çapı küpün bir kenarıdır. Dıştakinin çapı ise küpün en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegenidir.

Practice More

Aynı küpün içine sığabilecek en büyük silindir ile kürenin hacimlerini karşılaştırınız.

Alternative Method

Hacimleri ayrı ayrı hesaplamak yerine benzerlik oranından gidilebilir: k=ric\crdıs\c=a/2a3/2=13k = \frac{r_{iç}}{r_{dış}} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}. Hacimler oranı k3=133=39k^3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} olur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic