Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Benzerlik

ABCABC bir üçgen ve D∈[BC]D \in [BC] noktasıdır.

m(DAC^)=m(ABC^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ABC})
∣AC∣=12 cm|AC| = 12 \text{ cm}
∣DC∣=8 cm|DC| = 8 \text{ cm}
∣AD∣=10 cm|AD| = 10 \text{ cm}

Verilenlere göre, ∣AB∣+∣BD∣|AB| + |BD| toplamı kaç santimetredir?

  1. A
    18
  2. B
    20
  3. C
    22
  4. D
    24
  5. 25Answer

Answer

Doğru cevap 25'tir.
Soruda verilen açı eşitliği ve C^\widehat{C} açısının ortak olması nedeniyle △ADC\triangle ADC ile △BAC\triangle BAC benzerdir. Benzerlik oranı 8/12=2/38/12 = 2/3 olarak bulunur. Bu oran kullanılarak ∣BC∣=18|BC|=18 ve ∣AB∣=15|AB|=15 hesaplanır. ∣BD∣=10|BD|=10 bulunur ve toplam 25 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Açı eşitliklerini kullanarak benzer üçgenleri belirle.
Ortak açı C^\widehat{C} ve verilen eşitlik m(DAC^)=m(B^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{B}) nedeniyle △ADC∼△BAC\triangle ADC \sim \triangle BAC.
İki üçgenin ikişer açısı eşitse (Açı-Açı Benzerliği), bu üçgenler benzerdir.
2
Benzerlik oranını kurarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesapla.
∣DC∣∣AC∣=∣AC∣∣BC∣⇒812=12∣BC∣⇒∣BC∣=18 cm\frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|BC|} \Rightarrow \frac{8}{12} = \frac{12}{|BC|} \Rightarrow |BC| = 18 \text{ cm}.
Benzer üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
3
Benzerlik oranını kullanarak ∣AB∣|AB| uzunluğunu hesapla.
∣AD∣∣AB∣=∣DC∣∣AC∣⇒10∣AB∣=812=23⇒∣AB∣=15 cm\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DC|}{|AC|} \Rightarrow \frac{10}{|AB|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \Rightarrow |AB| = 15 \text{ cm}.
Benzerlik oranı k=2/3k = 2/3 olarak kullanılarak üçüncü kenar bulunur.
4
∣BD∣|BD| uzunluğunu bul ve istenen toplamı hesapla.
∣BD∣=∣BC∣−∣DC∣=18−8=10 cm|BD| = |BC| - |DC| = 18 - 8 = 10 \text{ cm}. Toplam: ∣AB∣+∣BD∣=15+10=25 cm|AB| + |BD| = 15 + 10 = 25 \text{ cm}.
Parça uzunluğu bütünden çıkarılarak bulunur.

Key Concept

Açı-Açı Benzerlik Teoremi (Gizli Benzerlik)

Hints

1
Üçgenlerdeki açıları isimlendirin. C açısı hem küçük üçgende (ADC) hem de büyük üçgende (ABC) ortaktır.
2
İki üçgenin ikişer açısı eşitse (Ortak C açısı ve verilen eşit açılar), üçüncü açıları da eşittir ve bu üçgenler benzerdir: △ADC∼△BAC\triangle ADC \sim \triangle BAC.
3
Benzerlik oranını yazın: ∣DC∣∣AC∣=∣AC∣∣BC∣=∣AD∣∣AB∣\frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AB|}. Bilinen değerleri (8, 12, 10) yerine koyarak ∣AB∣|AB| ve ∣BC∣|BC|'yi bulun.

Practice More

Benzer bir kurguda, kenar uzunlukları yerine alanların oranı verilirse benzerlik oranını nasıl bulacağınızı düşünün.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic