Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. BB açısına ait iç açıortay doğrusu, [AC][AC] kenarını NN noktasında kesmektedir. ∣AN∣=4|AN| = 4 cm ve ∣NC∣=5|NC| = 5 cm olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç cm 2^2'dir?

  1. A
    36
  2. B
    48
  3. 54Answer
  4. D
    60
  5. E
    108

Answer

Üçgenin alanı 54 cm 2^2'dir.
Verilen ABCABC dik üçgeninde iç açıortay teoremi gereği, dik kenar ∣AB∣|AB| ile hipotenüs ∣BC∣|BC| arasındaki oran, ayırdıkları parçalar olan 4 ve 5 ile orantılıdır (∣AB∣=4k,∣BC∣=5k|AB|=4k, |BC|=5k). Pisagor bağıntısı uygulandığında (4k)2+92=(5k)2(4k)^2 + 9^2 = (5k)^2 eşitliğinden k=3k=3 bulunur. Böylece dik kenarlar 9 cm ve 12 cm olur. Alan ise (9×12)/2=54(9 \times 12) / 2 = 54 cm 2^2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Açıortay teoremini uygula.
∣AB∣∣BC∣=∣AN∣∣NC∣=45\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AN|}{|NC|} = \frac{4}{5}. Buradan ∣AB∣=4k|AB| = 4k ve ∣BC∣=5k|BC| = 5k diyebiliriz.
İç açıortay teoremi, kenarların oranının ayırdığı parçaların oranına eşit olduğunu belirtir.
2
Dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bul.
(4k)2+92=(5k)2⇒16k2+81=25k2⇒9k2=81⇒k=3(4k)^2 + 9^2 = (5k)^2 \Rightarrow 16k^2 + 81 = 25k^2 \Rightarrow 9k^2 = 81 \Rightarrow k = 3.
ABCABC üçgeni dik üçgen olduğu için ∣AB∣2+∣AC∣2=∣BC∣2|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 bağıntısı geçerlidir. ∣AC∣=4+5=9|AC| = 4+5=9 cm'dir.
3
Kenar uzunluklarını ve alanı hesapla.
∣AB∣=4×3=12|AB| = 4 \times 3 = 12 cm. Alan (ABC)=12×92=54(ABC) = \frac{12 \times 9}{2} = 54 cm 2^2.
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1
İç açıortay teoremini hatırlayın: Bir açının açıortayı, karşı kenarı diğer iki kenarın oranına göre böler.
2
∣AB∣|AB| ve ∣BC∣|BC| kenarları için 4k4k ve 5k5k değişkenlerini kullanıp Pisagor bağıntısını kurun.
3
Üçgen 9-12-15 özel üçgenidir.

Practice More

Benzer oranlarla dış açıortay teoremi içeren bir soru çözülebilir.

Alternative Method

3-4-5 üçgeninin katlarını deneyerek de (9-12-15) çözüm bulunabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic