Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Ardışık nn tane pozitif tek tam sayının toplamı SS'dir. Bu sayılardan en büyük üç tanesi çıkarıldığında toplam 117117 azalmaktadır. Bu sayı dizisinin en küçük terimi 1515 olduğuna göre, nn değeri kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    13
  3. 14Answer
  4. D
    15
  5. E
    16

Answer

Ardışık sayı dizisindeki terim sayısı 14 olarak hesaplanmıştır.
Verilen dizide en büyük üç terim sırasıyla 2n+132n+13, 2n+112n+11 ve 2n+92n+9 olarak belirlenir. Bu ifadelerin toplamı 6n+336n+33 eder ve soruda verilen 117117 değerine eşitlendiğinde n=14n=14 sonucu elde edilir. Bu değer dizideki toplam terim sayısını temsil eder.

Step-by-Step Solution

1
En büyük üç terimi nn cinsinden ifade etme
Tn=2n+13T_n = 2n + 13, Tn−1=2n+11T_{n-1} = 2n + 11, Tn−2=2n+9T_{n-2} = 2n + 9
Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2'dir. En küçük terim a1=15a_1 = 15 ise, nn. terim an=a1+(n−1)⋅2=15+2n−2=2n+13a_n = a_1 + (n-1) \cdot 2 = 15 + 2n - 2 = 2n + 13 olur. Bu durumda sondan önceki terimler ikişer azalarak devam eder.
2
Bu üç terimin toplamını 117'ye eşitleme
(2n+13)+(2n+11)+(2n+9)=117(2n + 13) + (2n + 11) + (2n + 9) = 117
Soruda en büyük üç sayı çıkarıldığında toplamın 117 azaldığı belirtilmiştir; bu durum, bu üç sayının toplamının 117 olduğu anlamına gelir.
3
Denklemi düzenleme ve nn değerini bulma
6n+33=117⇒6n=84⇒n=146n + 33 = 117 \Rightarrow 6n = 84 \Rightarrow n = 14
Değişkenleri bir tarafta, sayıları diğer tarafta toplayarak basit bir birinci dereceden denklem çözülür.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde genel terim formülü ve sonlu toplamların mantığı

Hints

1
Ardışık tek sayılar arasındaki farkın her zaman 2 olduğunu unutmayın.
2
En küçük terim 15 ise, nn. terim olan en büyük terimi 15+(n−1)⋅215 + (n-1) \cdot 2 formülüyle yazabilirsiniz.
3
En büyük üç terim ana_n, an−1a_{n-1} ve an−2a_{n-2}'dir. Bunların toplamını 117'ye eşitleyen denklemi kurun.

Practice More

Benzer bir soruyu ardışık çift sayılar için veya toplamın en küçük terimler üzerinden verildiği durumlar için çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Ortanca terim mantığı kullanılabilir. En büyük üç sayının toplamı 117 ise, bu üç sayının ortancası 117/3=39117 / 3 = 39 olur. Sayılar tek olduğu için bu üçlü (37, 39, 41) şeklindedir. En büyük terim 41 olduğuna göre; 15+(n−1)⋅2=41⇒2n−2=26⇒n=1415 + (n-1) \cdot 2 = 41 \Rightarrow 2n - 2 = 26 \Rightarrow n = 14 bulunur.
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic