Examkin

Question

Difficulty: HardKatı Cisimler

Şekilde verilen ABCDABCD dik yamuğu, [AD][AD] kenarı eksen kabul edilerek 360∘360^{\circ} döndürülüyor.

∣AB∣=2|AB| = 2 cm, ∣DC∣=5|DC| = 5 cm ve ∣AD∣=4|AD| = 4 cm olduğuna göre, oluşan cismin tüm yüzey alanı kaç π\pi cm 2^2'dir?

  1. A
    35
  2. B
    52
  3. C
    57
  4. D
    60
  5. 64Answer

Answer

Oluşan cismin tüm yüzey alanı 64π64\pi cm 2^2'dir.
Doğru cevap, kesik koninin yanal alanı (35π35\pi), üst taban alanı (4π4\pi) ve alt taban alanının (25π25\pi) toplamı olan 64π64\pi değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Oluşan cismi tanımlama
Dik yamuğun dik kenarı etrafında döndürülmesiyle bir 'Kesik Koni' oluşur. Üst taban yarıçapı r1=2r_1 = 2 cm, alt taban yarıçapı r2=5r_2 = 5 cm ve yükseklik h=4h = 4 cm'dir.
Dönme eksenine dik olan kenarlar taban yarıçaplarını, paralel olan kenar ise yüksekliği oluşturur.
2
Ana doğru (yanal ayrıt) uzunluğunu (ll) bulma
l2=h2+(r2−r1)2l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2 formülünden l2=42+(5−2)2=16+9=25l^2 = 4^2 + (5-2)^2 = 16 + 9 = 25 bulunur. Buradan l=5l = 5 cm'dir.
Yanal alanı bulmak için Pisagor bağıntısı kullanılarak eğik kenar uzunluğu hesaplanmalıdır.
3
Yanal alanı hesaplama
Yanal Alan = π⋅(r1+r2)⋅l=π⋅(2+5)⋅5=35π\pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot l = \pi \cdot (2 + 5) \cdot 5 = 35\pi cm 2^2.
Kesik koninin yanal alanı, taban çevreleri toplamının yarısı ile ana doğrunun çarpımıdır.
4
Taban alanlarını hesaplama ve toplama
Üst Taban Alanı = πr12=4π\pi r_1^2 = 4\pi, Alt Taban Alanı = πr22=25π\pi r_2^2 = 25\pi. Toplam Alan = 35π+4π+25π=64π35\pi + 4\pi + 25\pi = 64\pi cm 2^2.
Tüm yüzey alanı, yanal alan ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşittir.

Key Concept

Dönel Cisimler ve Kesik Koni Alanı

Hints

1
Dik yamuk dik kenarı etrafında döndürüldüğünde bir 'kesik koni' oluşur. Bu cismin yüzey alanı; yanal yüzey, alt taban ve üst tabandan oluşur.
2
Yanal alanı bulmak için cismin 'ana doğrusunu' (eğik kenar uzunluğunu) bulmanız gerekir. Bunun için yamuğun içinde bir dik üçgen oluşturup Pisagor bağıntısını kullanın.

Practice More

Aynı cismin hacmini soran bir soru çözerek alan ve hacim formülleri arasındaki farkı pekiştirin.

Alternative Method

Büyük bir koniden küçük bir koninin çıkarılması mantığıyla da alan hesaplanabilir, ancak bu yöntemde benzerlik oranı (2/52/5) kullanılarak büyük koninin yanal alanı hesaplanıp küçük koninin yanal alanı çıkarılmalıdır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic