Examkin

Question

Difficulty: HardKatı Cisimler

Yarıçapı 1515 cm ve merkez açısının ölçüsü 216∘216^\circ olan bir daire dilimi, yarıçapları çakıştırılarak kıvrılıp bir dik dairesel koni elde ediliyor.

Buna göre, elde edilen bu koninin hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3'tür?

  1. A
    135
  2. B
    216
  3. 324Answer
  4. D
    405
  5. E
    432

Answer

Elde edilen koninin hacmi 324π324\pi cm3\text{cm}^3'tür.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusu (l=15l=15) olur. Açının 360∘360^\circ'ye oranı, taban yarıçapının ana doğruya oranına eşittir (r/l=α/360r/l = \alpha/360). Buradan r=9r=9 bulunur. Pisagor bağıntısı ile yükseklik h=12h=12 hesaplanır. Hacim formülü uygulandığında sonuç 324π324\pi bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Daire diliminin yarıçapı (R=15R=15) koninin ana doğrusuna (ll), dilimin yay uzunluğu ise koninin taban çevresine eşitlenerek koni taban yarıçapı (rr) bulunur.
r=α360⋅l⇒r=216360⋅15=0,6⋅15=9r = \frac{\alpha}{360} \cdot l \Rightarrow r = \frac{216}{360} \cdot 15 = 0,6 \cdot 15 = 9 cm
Daire dilimi kıvrıldığında, dilimin yayı koninin taban çemberini oluşturur.
2
Koninin yüksekliğini (hh) bulmak için Pisagor bağıntısı uygulanır (h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2).
h2+92=152⇒h2+81=225⇒h2=144⇒h=12h^2 + 9^2 = 15^2 \Rightarrow h^2 + 81 = 225 \Rightarrow h^2 = 144 \Rightarrow h = 12 cm
Koninin yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğrusu bir dik üçgen oluşturur.
3
Koninin hacim formülü (V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h) kullanılarak sonuç hesaplanır.
V=13⋅π⋅92⋅12=13⋅π⋅81⋅12=324πV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81 \cdot 12 = 324\pi cm3\text{cm}^3
Dik dairesel koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biridir.

Key Concept

Daire diliminden koni oluşturma (rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360}) ve koni hacmi.

Hints

1
Daire dilimi kıvrıldığında, dilimin yarıçapı (1515) koninin ana doğrusu (ll) olur.
2
Koninin taban yarıçapını (rr) bulmak için rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} orantısını kullanabilirsiniz.
3
Hacim için koninin yüksekliğine (hh) ihtiyacınız var. rr, hh ve ll arasında Pisagor bağıntısı (r2+h2=l2r^2 + h^2 = l^2) vardır.

Alternative Method

Orantı ile: 360∘360^\circ'lik tam dairenin çevresi 30π30\pi'dir. 216∘216^\circ'lik yayın uzunluğu 216360⋅30π=18π\frac{216}{360} \cdot 30\pi = 18\pi'dir. Bu yay koninin taban çevresidir (2πr=18π→r=92\pi r = 18\pi \rightarrow r=9).
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic