Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

nn bir sayma sayısı olmak üzere; 11'den nn'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı AA, 11'den nn'ye kadar olan ardışık tek tam sayıların toplamı BB ile gösterilmektedir.

A−B=72A - B = 72 olduğuna göre, nn'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    17
  2. B
    31
  3. 33Answer
  4. D
    35
  5. E
    49

Answer

nn'nin alabileceği değerler 16 ve 17 olduğundan, toplamları 33'tür.
Ardışık tam sayılar toplamından (AA) ardışık tek sayılar toplamı (BB) çıkarıldığında, geriye 11'den nn'ye kadar olan çift sayıların toplamı kalır. Çift sayıların toplamı k(k+1)=72k(k+1) = 72 formülüyle k=8k=8 bulunur. Bu durumda en büyük çift sayı 2k=162k=16'dır. Dizideki en büyük çift sayının 16 olması için nn sayısı 16 (çift durumda son terim) veya 17 (tek durumda son terim) olabilir. Bu iki değerin toplamı 16+17=3316+17=33'tür.

Step-by-Step Solution

1
A−BA - B ifadesinin anlamını belirle.
AA (tüm sayılar) eksi BB (tek sayılar), 11'den nn'ye kadar olan çift sayıların toplamını verir.
Bir sayı dizisinden tek sayıları çıkarırsanız geriye çift sayılar kalır.
2
Çift sayıların toplamı formülünü 7272'ye eşitle.
2+4+6+⋯+2k=k(k+1)=722 + 4 + 6 + \dots + 2k = k(k+1) = 72
2k2k son çift sayı olmak üzere, ardışık çift sayıların toplamı k(k+1)k(k+1) formülü ile bulunur.
3
kk değerini bul ve olası nn değerlerini analiz et.
k(k+1)=72⇒k=8k(k+1) = 72 \Rightarrow k=8. Bu durumda dizideki en büyük çift sayı 2k=162k = 16'dır.
8×9=728 \times 9 = 72 olduğundan k=8k=8 bulunur.
4
nn sayısının alabileceği değerleri tespit et.
En büyük çift sayı 16 olduğuna göre, nn sayısı 16 olabilir (son terim çifttir) veya 17 olabilir (son terim tektir, çiftler değişmez). Ancak n=18n=18 olamaz çünkü o zaman toplama 18 de eklenirdi.
n=16n=16 ise çiftler: 2,..,162,..,16. n=17n=17 ise çiftler yine 2,..,162,..,16. n=18n=18 olsaydı çiftler 2,..,182,..,18 olurdu.
5
Bulunan nn değerlerini topla.
16+17=3316 + 17 = 33.
Soruda olası değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Toplamı ve Tek-Çift Sayı Analizi

Hints

1
AA (tüm sayılar) kümesinden BB (tek sayılar) kümesini çıkarırsanız, geriye hangi sayı türleri kalır?
2
Geriye kalanlar 11'den nn'ye kadar olan çift sayılardır. Ardışık çift sayıların toplamı k(k+1)k(k+1) formülü ile hesaplanır.
3
k(k+1)=72k(k+1)=72 eşitliğinden çift sayı adedini bulun. En büyük çift sayı 16 olmalıdır. nn sayısı 16 olduğunda en büyük çift sayı 16'dır, peki n=17n=17 olursa en büyük çift sayı değişir mi?

Practice More

Benzer mantıkla, A+BA+B toplamının verildiği ve nn'nin sorulduğu soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Uzun yol: nn çift (2k2k) ve nn tek (2k−12k-1) durumları için AA ve BB toplam formüllerini ayrı ayrı yazıp A−B=72A-B=72 denklemini iki kez çözerek de aynı sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic