Examkin

Question

Difficulty: HardKarışım Problemleri

İçerisindeki tuz yüzdesi %x\%x olan bir tuzlu su karışımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* Karışıma 4040 gram tuz eklenirse, oluşan yeni karışımın tuz yüzdesi %2x\%2x olmaktadır.
* Karışıma tuz eklemek yerine 6060 gram saf su eklenirse, oluşan yeni karışımın tuz yüzdesi %2x3\% \frac{2x}{3} olmaktadır.

Buna göre, başlangıçtaki karışımda çözünmüş halde bulunan tuz miktarı kaç gramdır?

  1. A
    20
  2. 24Answer
  3. C
    30
  4. D
    40
  5. E
    48

Answer

Başlangıçtaki karışımda 24 gram tuz bulunmaktadır.
Karışım problemlerinde madde dengesi korunur. Su eklendiğinde tuz miktarı sabit kalırken toplam kütle artar ve oran azalır. Tuz eklendiğinde ise hem tuz miktarı hem de toplam kütle artar. Bu iki durum için kurulan denklem sistemi çözüldüğünde başlangıç kütlesi 120 gram, tuz oranı %20 bulunur. Buradan başlangıç tuz miktarı 24 gram olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıç değerlerini değişkenlerle ifade et.
Başlangıç karışım kütlesi MM, tuz yüzdesi %x\%x olsun. İçindeki tuz miktarı T=M⋅x100T = M \cdot \frac{x}{100} olur.
Bilinmeyenleri matematiksel ifadeye dökerek denklemleri kurmak için gereklidir.
2
Su ekleme durumunu (ikinci durum) analiz ederek karışım kütlesini (MM) bul.
Saf su eklendiğinde tuz miktarı değişmez. Oran x100\frac{x}{100} iken 2x300\frac{2x}{300}'e düşüyorsa: M⋅xM+60=2x300  ⟹  1M+60=23M  ⟹  3M=2M+120  ⟹  M=120\frac{M \cdot x}{M + 60} = \frac{2x}{300} \implies \frac{1}{M+60} = \frac{2}{3M} \implies 3M = 2M + 120 \implies M = 120 gram.
Tuz miktarının sabit kalması ilkesi, kütleyi bulmak için en doğrudan yoldur.
3
Tuz ekleme durumunu (birinci durum) kullanarak yüzdeliği (xx) bul.
Başlangıçtaki tuz miktarı 1,2x1,2x (çünkü 120⋅x100120 \cdot \frac{x}{100}). 4040 g tuz eklenince toplam kütle 160160 g, toplam tuz 1,2x+401,2x + 40 olur. Yeni oran %2x\%2x ise: 1,2x+40160=2x100  ⟹  1,2x+40=3,2x  ⟹  2x=40  ⟹  x=20\frac{1,2x + 40}{160} = \frac{2x}{100} \implies 1,2x + 40 = 3,2x \implies 2x = 40 \implies x = 20.
Bulunan kütle değerini yerine koyarak bilinmeyen yüzdeyi hesaplamak için gereklidir.
4
Başlangıçtaki tuz miktarını hesapla.
Başlangıç kütlesi 120120 g ve tuz oranı %20\%20 olduğuna göre: 120⋅20100=24120 \cdot \frac{20}{100} = 24 gram.
Sorunun nihai hedefi olan tuz miktarına ulaşmak için son işlemdir.

Key Concept

Karışım problemlerinde, saf çözücü (su) eklendiğinde çözünen madde miktarı değişmez; saf çözünen (tuz) eklendiğinde ise hem toplam kütle hem de çözünen madde miktarı artar.

Hints

1
Başlangıçtaki karışımın kütlesine MM diyerek iki durum için ayrı ayrı yüzde denklemi kurmayı dene.
2
İkinci durumda sadece su eklendiği için tuz miktarı değişmez. Bu bilgiyi kullanarak: (İlk Oran) × (İlk Kütle) = (Son Oran) × (Son Kütle) eşitliğinden MM'yi bulabilirsin.
3
Su eklenince oran xx'ten 2x/32x/3'e düşüyorsa kütle 1.5 katına çıkmıştır (M+60=1.5MM+60 = 1.5M). Buradan M=120M=120 gram bulunur. Şimdi ilk durumu kullanarak xx'i bul.

Practice More

Benzer bir mantıkla, karışımın bir kısmı dökülüp yerine su eklenseydi oran nasıl değişirdi?

Alternative Method

Ters Orantı Yöntemi: Su eklendiğinde oran xx'ten 2x/32x/3'e düşüyor (yani 3'te 2'sine iniyor). Demek ki kütle 3/2 katına (1.5 katına) çıkmıştır. M+60=1.5M  ⟹  0.5M=60  ⟹  M=120M + 60 = 1.5 M \implies 0.5 M = 60 \implies M = 120.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Karışım Problemleri

More questions from this topic