Examkin

Question

Difficulty: HardKatı Cisimler

Taban yarıçapı 33 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta 11 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kabın içine yarıçapı 33 cm olan demir bir bilye (küre) atılıyor. Bilye kabın tabanına tam olarak oturduğuna göre, son durumda kaptaki suyun yüksekliği kaç cm olur? (π=3\pi = 3 alınız.)

  1. A
    2
  2. 3Answer
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    6

Answer

Kaptaki suyun yüksekliği 3 cm olur.
Kaptaki suyun hacmi 27 cm³'tür. Su yüksekliği 3 cm olduğunda kürenin tam yarısı suyun içine girer ve 54 cm³ yer kaplar. Toplam hacim olan 81 cm³, taban alanı 27 cm² olan silindirin 3 cm yüksekliğindeki hacmine tam olarak karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki suyun hacmini hesaplayalım.
Vsu=π⋅r2⋅hsu=3⋅32⋅1=27V_{su} = \pi \cdot r^2 \cdot h_{su} = 3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 27 cm³
Silindirin hacim formülü V=πr2hV = \pi r^2 h kullanılarak kaptaki mevcut su miktarı bulunur.
2
Yeni su yüksekliği hh olsun. Su ve batan küre parçasının toplam hacmi, silindirin hh yüksekliğindeki hacmine eşit olmalıdır.
Vsu+Vbatan=Vsilindir(h)V_{su} + V_{batan} = V_{silindir(h)}
Taşırma olmayan kaplarda toplam hacim, kabın taban alanı ile ulaşılan yüksekliğin çarpımına eşittir.
3
h=3h = 3 cm (kürenin merkez seviyesi) durumunu test edelim. Bu durumda kürenin yarısı suya batmış olur.
Vbatan=12⋅43⋅π⋅r3=12⋅43⋅3⋅33=54V_{batan} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 3^3 = 54 cm³
Yarım kürenin hacmi hesaplanarak suyun içine giren hacim bulunur.
4
Toplam hacmi silindir hacmi ile karşılaştıralım.
27+54=8127 + 54 = 81 cm³. Silindirin h=3h=3 için hacmi: 3⋅32⋅3=813 \cdot 3^2 \cdot 3 = 81 cm³.
İki değer birbirine eşit olduğu için su seviyesinin tam olarak 3 cm'de dengelendiği doğrulanmış olur.

Key Concept

Katı cisimlerde hacim korunumu ve sıvı yer değiştirme (displasman) prensibi.

Practice More

Bilye atıldıktan sonra suyun bilyeyi tamamen örtebilmesi için kaba en az kaç cm³ daha su eklenmelidir?

Alternative Method

Cebirsel olarak h3−9h2+27h−27=0h^3 - 9h^2 + 27h - 27 = 0 denklemi kurulabilir. Bu ifade (h−3)3=0(h-3)^3 = 0 açılımıdır ve tek kökü h=3h=3'tür.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic