Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Alan

ABCABC bir dik üçgen olmak üzere, [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] dikliği ve m(ABC^)=15∘m(\widehat{ABC}) = 15^\circ açısı verilmiştir. Üçgenin hipotenüs uzunluğu ∣BC∣=20|BC| = 20 cm olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç cm 2^2'dir?

  1. A
    25
  2. B
    40
  3. 50Answer
  4. D
    100
  5. E
    200

Answer

50 cm²
Verilen üçgen 15-75-90 özel üçgenidir. Bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüs uzunluğunun 4'te 1'ine eşittir (h=a4h = \frac{a}{4}). Hipotenüs 20 cm olduğundan yükseklik 5 cm bulunur. Alan formülü a⋅h2\frac{a \cdot h}{2} uygulandığında sonuç 50 cm 2^2 çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenin açılarını ve türünü belirle.
A açısı 90°, B açısı 15° olduğundan, C açısı 75°'dir. Bu bir 15-75-90 özel dik üçgenidir.
Üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir.
2
15-75-90 üçgenine ait yükseklik bağıntısını hatırla.
Hipotenüse ait yükseklik (h), hipotenüs uzunluğunun (a) 4'te 1'idir: h = a/4.
15-75-90 üçgeninin karakteristik özelliği h = 1/4 * Hipotenüs olmasıdır.
3
Yüksekliği hesapla.
h = 20 / 4 = 5 cm.
Verilen hipotenüs uzunluğu formülde yerine konur.
4
Üçgenin alanını hesapla.
Alan = (Taban × Yükseklik) / 2 = (20 × 5) / 2 = 100 / 2 = 50 cm².
Üçgende genel alan formülü uygulanır.

Key Concept

15-75-90 Dik Üçgeninde Alan Bağıntısı (h - 4h Kuralı)

Hints

1
Üçgenin iç açılarını bulunuz (90° ve 15° verilmiş). Bu özel bir dik üçgen mi?
2
15-75-90 üçgeninde, hipotenüs uzunluğu ile hipotenüse ait yükseklik arasında özel bir oran vardır.
3
15-75-90 üçgeninde yükseklik (h), hipotenüsün (a) 4'te 1'idir (h=a/4h = a/4). Alanı bu bilgiyi kullanarak hesaplayınız.

Practice More

Benzer bir 15-75-90 üçgeninde yüksekliğin verilip hipotenüsün sorulduğu ters sorular çözülebilir.

Alternative Method

Trigonometri kullanarak: Alan = 1/2⋅b⋅c1/2 \cdot b \cdot c. b=20cos⁡(15)b = 20 \cos(15), c=20sin⁡(15)c = 20 \sin(15). Alan = 200⋅sin⁡(30)=100⋅0.5=50200 \cdot \sin(30) = 100 \cdot 0.5 = 50.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic