Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Alan

AB ⊥\perp BC olacak şekilde verilen ABC dik üçgeninde, [AD] doğru parçası BAC^\widehat{BAC} açısına ait iç açıortaydır. D∈[BC]D \in [BC] olmak üzere, ∣BD∣=6|BD| = 6 cm ve ∣DC∣=10|DC| = 10 cm olduğuna göre, boyalı ADC üçgeninin alanı kaç cm 2^2'dir?

  1. A
    36
  2. B
    48
  3. 60Answer
  4. D
    72
  5. E
    96

Answer

ADC üçgeninin alanı 60 cm²'dir.
İç açıortay teoremi gereği kenarlar 3k ve 5k orantılıdır. Pisagor bağıntısından (3k, 16, 5k) üçgeninin 12-16-20 üçgeni olduğu bulunur. Yükseklik 12 cm, taban 10 cm olduğundan alan 60 cm²'dir.

Step-by-Step Solution

1
İç açıortay teoremini uygula.
∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=610=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. Buna göre ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k denilebilir.
Üçgende iç açıortay, karşı kenarı diğer kenarların oranına göre böler.
2
Pisagor bağıntısı ile kk değerini bul.
(3k)2+(6+10)2=(5k)2⇒9k2+162=25k2⇒256=16k2⇒k2=16⇒k=4(3k)^2 + (6+10)^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 16^2 = 25k^2 \Rightarrow 256 = 16k^2 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4.
ABC üçgeni dik üçgen olduğu için dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
3
Dik kenar uzunluğunu (∣AB∣|AB|) hesapla.
∣AB∣=3k=3×4=12|AB| = 3k = 3 \times 4 = 12 cm.
Alan hesabı için yüksekliğe ihtiyaç vardır.
4
ADC üçgeninin alanını hesapla.
Alan(ADC) = ∣DC∣×∣AB∣2=10×122=60\frac{|DC| \times |AB|}{2} = \frac{10 \times 12}{2} = 60 cm 2^2.
Geniş açılı veya parçalı üçgenlerde yükseklik üçgenin dışında olabilir; ADC üçgeninin [DC] tabanına ait yükseklik [AB] kenarıdır.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Dik Üçgende Alan

Hints

1
Önce A açısına ait iç açıortay teoremini kullanarak AB ve AC kenarları arasında bir oran kurun.
2
Kenarlara 3k ve 5k diyerek Pisagor bağıntısını uygulayın (Dik kenarlar: AB ve BC). BC uzunluğunun 6 + 10 = 16 olduğunu unutmayın.
3
AB kenarını bulduktan sonra, bu kenarın aslında ADC üçgeninin DC tabanına ait yüksekliği olduğunu fark edin.

Practice More

Benzer mantıkla dış açıortay teoremi içeren alan soruları çözülebilir.

Alternative Method

Tüm alan hesaplanıp (96), tabanlar oranına (6/10) göre paylaştırılabilir: 6S + 10S = 96 => 16S = 96 => S=6. Alan(ADC) = 10S = 60.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic