Examkin

Question

Difficulty: Very hardDoğruda ve Üçgende Açılar

Geometri dersinde öğretmen, tahtaya bir ABCABC ikizkenar üçgeni çizmiş ve ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğunu belirtmiştir. Daha sonra [AC][AC] kenarı üzerinde bir DD noktası işaretleyerek öğrencilere şu eşitlikleri vermiştir:

∣AD∣=∣BD∣=∣BC∣|AD| = |BD| = |BC|

Buna göre, üçgenin tepe açısı olan m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

  1. A
    18
  2. B
    30
  3. 36Answer
  4. D
    45
  5. E
    72

Answer

Üçgenin tepe açısı 36 derecedir.
Verilen eşitlikler kullanılarak açıların birbirine bağımlılığı zincirleme olarak çözülür. ∣AD∣=∣BD∣|AD|=|BD| eşitliğinden △ABD\triangle ABD'nin taban açıları xx olur. Dış açı kuralıyla BDC^=2x\widehat{BDC}=2x bulunur. ∣BD∣=∣BC∣|BD|=|BC| eşitliğinden △BCD\triangle BCD'nin taban açıları 2x2x olur. Son olarak büyük üçgenin ikizkenarlığından (∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC|) tüm taban açısının 2x2x olduğu görülür. İç açılar toplamı x+2x+2x=180x+2x+2x=180 denklemi x=36x=36 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olarak isimlendirin.
m(A^)=xm(\widehat{A}) = x
Bilinmeyen tepe açısına değişken atayarak diğer açıları bu değişken cinsinden ifade etmek için.
2
∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD| ikizkenar özelliğini kullanarak △ABD\triangle ABD taban açılarını belirleyin.
m(ABD^)=xm(\widehat{ABD}) = x
İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları eşittir.
3
△ABD\triangle ABD için 'iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir' kuralını uygulayın.
m(BDC^)=x+x=2xm(\widehat{BDC}) = x + x = 2x
Üçgende dış açı özelliği.
4
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ikizkenar özelliğini kullanarak △BCD\triangle BCD taban açılarını eşitleyin.
m(BCD^)=2xm(\widehat{BCD}) = 2x
İkizkenar üçgen özelliği.
5
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| bilgisini kullanarak büyük üçgenin (△ABC\triangle ABC) taban açılarını eşitleyin.
m(ABC^)=m(ACB^)=2xm(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x
Büyük üçgenin de ikizkenar olması.
6
△ABC\triangle ABC iç açılar toplamını 180 dereceye eşitleyip denklemi çözün.
x+2x+2x=180⇒5x=180⇒x=36∘x + 2x + 2x = 180 \Rightarrow 5x = 180 \Rightarrow x = 36^\circ
Üçgenin iç açılar toplamı kuralı.

Key Concept

İkizkenar üçgen zinciri ve dış açı özelliği (Altın Üçgen yapısı)

Hints

1
Tepe açısına (m(A^)m(\widehat{A})) bir değişken (örneğin α\alpha) vererek başlayın ve ikizkenar üçgen özelliklerini kullanarak diğer açıları bu değişken cinsinden yazın.
2
∣AD∣=∣BD∣|AD|=|BD| olduğu için ABD^\widehat{ABD} açısı da α\alpha olur. İki iç açının toplamının bir dış açıya eşit olduğunu hatırlayarak BDC^\widehat{BDC} açısını bulun.

Practice More

Benzer mantıkla, m(A^)=36m(\widehat{A})=36 ve ∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| olduğunda ∣AD∣=∣BC∣|AD|=|BC| olacak şekilde DD noktasının konumunu soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Bu üçgen 'Altın Üçgen' olarak bilinir. Kenarlar arasındaki oran Altın Oran (ϕ\phi) ile ilişkilidir, ancak KPSS kapsamında açı takibi (algebraic angle chasing) yöntemi esastır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Doğruda ve Üçgende Açılar

More questions from this topic