Examkin

Question

Difficulty: MediumAsal Sayılar
a,ba, b ve cc asal sayılar olmak üzere,
a⋅(b−c)=21 a \cdot (b - c) = 21
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. 14Answer
  3. C
    18
  4. D
    21
  5. E
    26

Answer

14
Verilen eşitlikte 21'in asal çarpanları düşünülmelidir. aa bir asal sayı olduğu için a=3a=3 veya a=7a=7 olabilir. a=3a=3 durumunda b−c=7b-c=7 olur ki bu durumda c=2c=2 için b=9b=9 çıkar (9 asal değildir). a=7a=7 durumunda ise b−c=3b-c=3 olur. İki asal sayının farkı tek ise biri mutlaka 2'dir. c=2c=2 alındığında b=5b=5 bulunur ve 5 asaldır. Böylece sayılar 7, 5 ve 2 olarak bulunur, toplamları 14'tür.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği analiz et
21 sayısı iki tam sayının çarpımıdır: 1×211 \times 21 veya 3×73 \times 7. a bir asal sayı olduğu için 3 veya 7 olmalıdır.
Asal çarpanların belirlenmesi
2
a = 3 durumunu dene
3⋅(b−c)=21  ⟹  b−c=73 \cdot (b - c) = 21 \implies b - c = 7. Farkları tek sayı (7) olan iki asaldan biri mutlaka 2 olmalıdır (çift asal). c=2c=2 dersek b−2=7  ⟹  b=9b-2=7 \implies b=9. Ancak 9 asal değildir.
Varsayımın doğrulanması
3
a = 7 durumunu dene
7⋅(b−c)=21  ⟹  b−c=37 \cdot (b - c) = 21 \implies b - c = 3. Farkları tek sayı (3) olan iki asaldan biri 2 olmalıdır. c=2c=2 dersek b−2=3  ⟹  b=5b-2=3 \implies b=5. 5 bir asal sayıdır. Bu durum tüm şartları sağlar.
Varsayımın doğrulanması
4
Toplamı hesapla
a=7,b=5,c=2a=7, b=5, c=2 ise a+b+c=7+5+2=14a + b + c = 7 + 5 + 2 = 14.
Sonuca ulaşma

Key Concept

Asal sayılar ve Tek/Çift Sayı Özellikleri

Hints

1
21 sayısının çarpanlarını düşünün (1,3,7,211, 3, 7, 21). aa sayısı bunlardan hangisi olabilir?
2
bb ve cc asal sayı olduğuna göre, farkları (b−cb-c) tek sayı çıkıyorsa, bu sayılardan biri mutlaka 2 olmalıdır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic