Examkin

Question

Difficulty: Very hardAlt Küme

A={1,2,3,…,10}A = \{1, 2, 3, \dots, 10\} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, kümenin en küçük elemanı ile en büyük elemanının toplamı 11'dir?

  1. A
    171
  2. B
    340
  3. 341Answer
  4. D
    511
  5. E
    682

Answer

341
Soruda, alt kümenin en küçük (minmin) ve en büyük (maxmax) elemanlarının toplamının 11 olması istenmektedir. Kümeler tam sayılardan oluştuğu için min≠maxmin \neq max olmak zorundadır (toplam tek sayı). Bu şartı sağlayan (min,max)(min, max) çiftleri şunlardır: (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6). Her bir çift için, alt küme bu iki elemanı kesinlikle içermeli, geri kalan elemanlar ise bu iki sayı arasındaki sayılardan seçilmelidir. Aradaki eleman sayısı nn ise, o durum için 2n2^n farklı alt küme yazılabilir. Hesaplanan değerlerin toplamı (256+64+16+4+1256 + 64 + 16 + 4 + 1) 341 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Problemin kısıtlarını ve temel mantığını belirle.
Alt kümenin en küçük elemanı xx, en büyük elemanı yy olsun. x+y=11x + y = 11 ve x≤yx \le y olmalıdır. Bir kümede elemanlar birbirinden farklı olduğu için x≠yx \neq y olmalıdır (çünkü x=yx=y ise 2x=112x=11 olur, x=5.5x=5.5 tam sayı değildir). Bu nedenle küme en az 2 elemanlı olmalıdır.
Soruda verilen toplam şartını sağlayan olası en küçük ve en büyük eleman çiftlerini tespit etmek için.
2
Toplamı 11 olan (x,y)(x, y) çiftlerini ve bu çiftler arasındaki eleman sayısını belirle.
Olası çiftler (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)'dır. Her çift için, bu iki sayı arasında kalan elemanlar alt kümeye dahil edilebilir veya edilmeyebilir.
Bir alt kümenin en küçük ve en büyük elemanı belirlendiğinde, diğer elemanlar sadece bu iki değer arasındaki sayılardan seçilebilir.
3
Her durum için oluşabilecek alt küme sayısını hesapla (2n2^n formülü ile).
Durum 1: {1,…,10}\{1, \dots, 10\} (Arada 2,3,..,92,3,..,9 var, 8 eleman) →28=256\rightarrow 2^8 = 256 durum.
Durum 2: {2,…,9}\{2, \dots, 9\} (Arada 3,..,83,..,8 var, 6 eleman) →26=64\rightarrow 2^6 = 64 durum.
Durum 3: {3,…,8}\{3, \dots, 8\} (Arada 4,..,74,..,7 var, 4 eleman) →24=16\rightarrow 2^4 = 16 durum.
Durum 4: {4,…,7}\{4, \dots, 7\} (Arada 5,65,6 var, 2 eleman) →22=4\rightarrow 2^2 = 4 durum.
Durum 5: {5,6}\{5, 6\} (Arada eleman yok, 0 eleman) →20=1\rightarrow 2^0 = 1 durum.
Aradaki her eleman kümede ya vardır ya yoktur, bu da alt küme sayısını verir.
4
Tüm durumları topla.
Toplam = 256+64+16+4+1=341256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 341.
Ayrık durumların toplam sayısı nihai sonucu verir.

Key Concept

Alt Küme Oluşturma ve Sayma Prensipleri

Hints

1
Alt kümenin en küçük elemanı xx ve en büyük elemanı yy olsun. x+y=11x + y = 11 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) tam sayı çifti vardır?
2
Her (x,y)(x, y) çifti için, alt küme mutlaka xx ve yy'yi içermelidir. Diğer elemanlar ise xx ile yy arasındaki sayılardan seçilmelidir.
3
Çiftler: (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6). Her çift için arada kalan eleman sayısını (nn) bulup 2n2^n değerlerini toplayın. Örneğin (5,6) arasında hiç sayı yoktur, n=0n=0 olur.

Practice More

Benzer mantıkla, en küçük ve en büyük eleman farkının sabit bir sayı olduğu durumlar incelenebilir.

Alternative Method

Toplamı: ∑k=0422k=1+4+16+64+256=45−14−1=341\sum_{k=0}^{4} 2^{2k} = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = \frac{4^5 - 1}{4 - 1} = 341 formülü ile seri toplamı olarak da düşünülebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Alt Küme

More questions from this topic