Examkin

Question

Difficulty: HardKatı Cisimler

Dik kenar uzunlukları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgenin, hipotenüsü etrafında 360∘360^{\circ} döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi kaç π cm3\pi \text{ cm}^3 tür?

  1. 1200Answer
  2. B
    1500
  3. C
    2000
  4. D
    2400
  5. E
    3600

Answer

Döndürme işlemi sonucunda oluşan çift koninin hacmi 1200 π\pi cm3cm^3 tür.
Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, tabanları ortak iki adet koni oluşur. Öncelikle 15-20-25 özel üçgeninden hipotenüs 25 cm bulunur. Dönme yarıçapı (rr), üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Alandan gidilerek 15⋅20=25⋅h15 \cdot 20 = 25 \cdot h eşitliğinden h=r=12h=r=12 cm bulunur. Oluşan cismin hacmi V=13πr2(htoplam)V = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_{toplam}) formülüyle V=13⋅π⋅122⋅25=1200πV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 25 = 1200\pi olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Hipotenüs uzunluğunu hesapla.
Pisagor bağıntısından (15−20−2515-20-25 üçgeni); Hipotenüs = 25 cm.
Dönme ekseninin uzunluğunu belirlemek için gereklidir.
2
Dönme yarıçapını (rr) bulmak için üçgenin alan formülünü veya Öklid bağıntısını kullan.
Alan = 15⋅202=25⋅r2⇒300=25r⇒r=12\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot r}{2} \Rightarrow 300 = 25r \Rightarrow r = 12 cm.
Oluşan cisim, tabanları çakışık iki koniden oluşur; bu konilerin yarıçapı, üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.
3
Oluşan çift koninin toplam hacmini hesapla.
V=13πr2h1+13πr2h2=13πr2(h1+h2)V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1 + h_2). Burada h1+h2=25h_1 + h_2 = 25 (hipotenüs) ve r=12r=12.
İki koninin yükseklikleri toplamı hipotenüs uzunluğuna eşittir.
4
Değerleri formülde yerine koy.
V=13π(122)(25)=13π(144)(25)=48⋅25⋅π=1200πV = \frac{1}{3} \pi (12^2) (25) = \frac{1}{3} \pi (144) (25) = 48 \cdot 25 \cdot \pi = 1200\pi.
Sonuç hesaplaması.

Key Concept

Dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle tabanları çakışık iki koni (çift koni) oluşur. Bu cismin hacmi, taban yarıçapı hipotenüse ait yükseklik olan iki koninin hacimleri toplamıdır.

Hints

1
Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürürseniz, tabanları birbirine yapışık iki adet koni elde edersiniz.
2
Oluşan konilerin taban yarıçapı (rr), dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Öklid bağıntısı veya alan formülü ile bu yüksekliği bulabilirsiniz.
3
Hipotenüs uzunluğu 25 cm, hipotenüse ait yükseklik (rr) 12 cm'dir. Toplam hacim formülünde yükseklikler toplamı olarak hipotenüsü (25) kullanabilirsiniz: V=13πr2(h1+h2)V = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1+h_2).
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic