Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri
EE evrensel kümesinin boştan farklı AA ve BB alt kümeleri için,
[(A∖B)∪(B∖A)]′∩A [(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' \cap A
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A \cap BAnswer
  2. B
    A \setminus B
  3. C
    A
  4. D
    B
  5. E
    \emptyset

Answer

İfadenin en sade hali A∩BA \cap B kümesidir.
Verilen ifade adım adım incelendiğinde; parantez içi (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) simetrik farkı belirtir. Bu bölge, sadece A'da ve sadece B'de olan elemanları kapsar. Bu ifadenin tümleyeni (′'), kesişim bölgesi (A∩BA \cap B) ve kümelerin dışındaki bölgeyi ((A∪B)′(A \cup B)') verir. Son adımda bu bölgenin AA ile kesişimi alındığında, evrensel kümenin dışı elenir ve geriye sadece AA ile ortak olan kısım, yani A∩BA \cap B kalır.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki ifadeyi (X=(A∖B)∪(B∖A)X = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)) analiz et.
Bu ifade, AA veya BB'de olup her ikisinde birden olmayan elemanları (Simetrik Fark) temsil eder.
Kümeler teorisinde fark işleminin tanımı gereği A∖BA \setminus B sadece A'da olanları, B∖AB \setminus A sadece B'de olanları verir.
2
Bu ifadenin tümleyenini (X′X') düşün.
X′X', simetrik farkın dışındaki bölgedir. Yani hem AA ve BB'nin kesişimi (A∩BA \cap B) hem de her iki kümenin dışı ((A∪B)′(A \cup B)') bu bölgededir.
Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan tüm elemanları kapsar.
3
Bulunan bölgeyi AA kümesi ile kesiştir (∩A\cap A).
Simetrik farkın dışında kalan elemanlardan sadece AA kümesinin içinde olanlar seçilmelidir. (A∪B)′(A \cup B)' bölgesi AA'nın dışındadır. Geriye sadece A∩BA \cap B kalır.
Kesişim işlemi, her iki kümede ortak olan elemanları verir. AA'nın içinde olup simetrik farkta olmayan tek bölge kesişim bölgesidir.

Key Concept

Simetrik farkın tümleyeni, iki kümenin kesişimi ile iki kümenin birleşiminin tümleyeninin birleşimidir.

Hints

1
İfadeyi Venn şeması üzerinde bölgeleri tarayarak düşünmeyi deneyin.
2
(A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) ifadesi, 'Simetrik Fark' olarak bilinir ve kesişim hariç birleşimdeki tüm elemanları ifade eder.
3
Simetrik farkın tümleyeni, kesişim bölgesi (A∩BA \cap B) ile dış bölgenin birleşimidir. Bunu AA ile kesiştirirseniz geriye ne kalır?

Practice More

Benzer mantıkla [(A∪B)∖(A∩B)]′∩B[(A \cup B) \setminus (A \cap B)]' \cap B ifadesini sadeleştirmeyi deneyin.

Alternative Method

De Morgan Kuralları ile cebirsel çözüm: Fark işlemini kesişime çevirin (A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B'). İfade [(A∩B′)∪(B∩A′)]′∩A[(A \cap B') \cup (B \cap A')]' \cap A olur. De Morgan uygulandığında (A′∪B)∩(B′∪A)∩A(A' \cup B) \cap (B' \cup A) \cap A elde edilir. (B′∪A)∩A=A(B' \cup A) \cap A = A olduğundan (yutma özelliği), geriye (A′∪B)∩A(A' \cup B) \cap A kalır. Dağılma özelliği ile (A′∩A)∪(B∩A)=∅∪(A∩B)=A∩B(A' \cap A) \cup (B \cap A) = \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic