Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Küçükten büyüğe doğru sıralanmış nn tane ardışık çift tam sayıdan oluşan bir sayı dizisinde; en büyük 3 terimin toplamı, en küçük 3 terimin toplamından 78 fazladır. Bu sayı dizisinin tüm terimlerinin toplamı 400 olduğuna göre, dizinin en büyük terimi kaçtır?

  1. A
    36
  2. B
    38
  3. 40Answer
  4. D
    42
  5. E
    44

Answer

Dizinin en büyük terimi 40'tır.
Soruda verilen 'son 3 terim ve ilk 3 terim farkı' ilişkisinden dizinin eleman sayısı (n=16n=16) bulunur. Daha sonra ardışık sayılar toplam formülü ve terimler arası artış miktarı kullanılarak kurulan denklem sisteminin çözümünden en büyük terim 40 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin terimlerini ve ilk/son 3'lü grupları genel terim cinsinden ifade et.
İlk terim xx olsun. Terimler: x,x+2,...,x+2(n−1)x, x+2, ..., x+2(n-1). En küçük 3'lü: x,x+2,x+4x, x+2, x+4. En büyük 3'lü: x+2n−2,x+2n−4,x+2n−6x+2n-2, x+2n-4, x+2n-6.
Problemi çözmek için değişkenler atanmalı ve gruplar matematiksel olarak tanımlanmalıdır.
2
Verilen fark bilgisini kullanarak terim sayısı nn'i bul.
Fark = 3x+6n−12−(3x+6)=6n−183x + 6n - 12 - (3x + 6) = 6n - 18. Denklem: 6n−18=78⇒6n=96⇒n=166n - 18 = 78 \Rightarrow 6n = 96 \Rightarrow n = 16.
İki grubun toplamları farkı, terim sayısına bağlı bir denklem oluşturur.
3
Toplam formülünü kullanarak ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi bul.
Genel toplam = n2(ilk+son)=400\frac{n}{2}(\text{ilk} + \text{son}) = 400. n=16n=16 için: 8(x+xson)=400⇒x+xson=508(x + x_{son}) = 400 \Rightarrow x + x_{son} = 50.
Ardışık sayıların toplam formülü, uç değerlerin toplamını verir.
4
Son terim ile ilk terim arasındaki ilişkiyi kullanarak denklem sistemini çöz.
xson=x+(16−1)×2⇒xson=x+30x_{son} = x + (16-1) \times 2 \Rightarrow x_{son} = x + 30. Denklemde yerine yaz: (xson−30)+xson=50⇒2xson=80⇒xson=40(x_{son} - 30) + x_{son} = 50 \Rightarrow 2x_{son} = 80 \Rightarrow x_{son} = 40.
İki bilinmeyenli iki denklemden son terim elde edilir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde alt grupların toplamları arasındaki fark, terim sayısına bağlı doğrusal bir ilişki oluşturur.

Hints

1
En küçük terime xx diyerek, ilk 3 terimi (x,x+2,x+4x, x+2, x+4) ve son 3 terimi (nn cinsinden) yazmayı dene.
2
Son üç terim ile ilk üç terim arasındaki farkı yazarken terim terim çıkarma yaparsan (xson−xilkx_{son}-x_{ilk} gibi), her bir farkın 2(n−1)2(n-1) değil, grup kaymasından dolayı farklı bir sabit olduğunu göreceksin.

Practice More

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark ve toplam sorusu çözerek örüntü mantığını pekiştirin.

Alternative Method

Simetri Yöntemi: Verilen fark 78, 3 parça terimden geliyor. Her bir karşılıklı terim farkı (büyükten küçüğe) eşittir. (Sn−S1)+(Sn−1−S2)+(Sn−2−S3)=78(S_n - S_1) + (S_{n-1} - S_2) + (S_{n-2} - S_3) = 78. Bu farkların her biri 2(n−3)2(n-3) kadardır. Buradan 3×2(n−3)=783 \times 2(n-3) = 78 diyerek nn doğrudan bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic