Examkin

Question

Difficulty: Very hardAlt Küme

Elemanları tam sayılardan oluşan A={−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı negatif bir tam sayıya eşittir?

  1. A
    32
  2. B
    112
  3. 128Answer
  4. D
    224
  5. E
    256

Answer

Çarpımı negatif olan 128 farklı alt küme vardır.
Bir sayı kümesindeki elemanların çarpımının negatif olması için, kümede 0 bulunmamalı ve negatif eleman sayısı tek (1, 3, 5...) olmalıdır. Pozitif elemanlar sonucu etkilemez. A kümesinde 3 negatif (−3,−2,−1-3, -2, -1) ve 5 pozitif (1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5) sayı vardır. Tek sayıda negatif seçimi (1 veya 3 tane) (31)+(33)=4\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 4 yolla yapılır. Pozitiflerden herhangi bir alt küme 25=322^5 = 32 yolla seçilir. Çarpma kuralı gereği toplam 4×32=1284 \times 32 = 128 alt küme vardır.

Step-by-Step Solution

1
A kümesindeki elemanları işaretlerine göre gruplandır.
Negatifler: {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} (3 eleman), Pozitifler: {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} (5 eleman), Nötr: {0}\{0\} (1 eleman).
Çarpım sonucunun işaretini belirlemek için elemanların türlerini bilmek gerekir.
2
Çarpımın negatif olması için gereken koşulu belirle.
Küme içinde '0' elemanı BULUNMAMALIDIR ve 'tek sayıda' negatif eleman BULUNMALIDIR.
Bir kümede 0 varsa çarpım 0 olur. Negatif sayıların adedi çift ise çarpım pozitif, tek ise negatif olur. Pozitif sayıların adedi işareti etkilemez.
3
Negatif elemanların seçim sayısını hesapla.
3 negatif elemandan tek sayıda (1 veya 3) seçim yapılmalıdır: (31)+(33)=3+1=4\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = 4 farklı yol.
1 tane negatif seçilirse çarpım eksi olur, 3 tane seçilirse yine eksi olur.
4
Pozitif elemanların seçim sayısını hesapla.
5 pozitif elemandan istenildiği kadar (hiçbiri, bazıları veya hepsi) seçilebilir: 25=322^5 = 32 farklı yol.
Pozitif sayıların varlığı veya yokluğu çarpımın işaretini değiştirmez.
5
Toplam durumu hesapla (Çarpma kuralı).
Negatif seçimleri ×\times Pozitif seçimleri = 4×32=1284 \times 32 = 128.
Bağımsız seçimlerin kombinasyonu için çarpma kuralı uygulanır.

Key Concept

Alt Küme Sayısı ve Çarpma Kuralı

Hints

1
Bir çarpma işleminin sonucunun negatif olması için çarpanlardan kaç tanesinin negatif olması gerektiğini düşünün.
2
Kümedeki '0' elemanını alırsanız çarpım ne olur? Negatif olması için 0'ı kümeye dahil etmeli misiniz?
3
Çarpımın negatif olması için TEK sayıda (1 veya 3) negatif sayı seçmelisiniz. Pozitif sayıları seçmekte özgürsünüz.

Practice More

Aynı kümenin elemanları çarpımının 'pozitif' olduğu alt küme sayısı kaçtır? (İpucu: Boş kümenin çarpımının 1 kabul edildiği durumları inceleyin).

Alternative Method

Simetri Yöntemi: 0 hariç geriye kalan 8 elemanlı kümenin (A′A') tüm alt kümelerinin sayısı 28=2562^8 = 256'dır. Bu alt kümelerin yarısında negatif sayıların adedi tek, diğer yarısında çifttir (veya hiç yoktur). Bu matematiksel simetri gereği, çarpımı negatif olanların sayısı 256/2=128256 / 2 = 128 olur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Alt Küme

More questions from this topic