Examkin

Question

Difficulty: Very hardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir caddenin sol tarafında bulunan binalar, 11'den başlayarak ardışık tek tam sayılarla (1,3,5,…1, 3, 5, \dots) numaralandırılmıştır. Kentsel dönüşüm projesi kapsamında, bu caddede yan yana bulunan nn tane bina yıkılacaktır. Yıkılacak binaların kapı numaralarının toplamı 17201720'dir. Yıkılacak binalar arasında kapı numarası en küçük olan bina, toplam yıkılacak bina sayısının (nn) 33 katından 77 fazladır. Buna göre, yıkılacak binalar arasında kapı numarası en büyük olan kaçtır?

  1. A
    97
  2. B
    103
  3. 105Answer
  4. D
    107
  5. E
    115

Answer

Yıkılacak en büyük kapı numarası 105'tir.
Soruda verilen ilişkilere göre bina sayısı n=20n=20 olarak bulunur. İlk bina numarası 67'dir. Ardışık tek sayılar 2'şer arttığı için, 20. binanın numarası 67+(20−1)×2=10567 + (20-1) \times 2 = 105 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terimlerini ve toplam formülünü belirle.
Binalar ardışık tek sayılar (1,3,5...1, 3, 5...) olduğu için ortak fark 2'dir. İlk terime xx dersek, terimler x,x+2,…,x+2(n−1)x, x+2, \dots, x+2(n-1) olur. Toplam formülü: S=n⋅x+n(n−1)S = n \cdot x + n(n-1) (veya ortanca terim formülüyle n2(2x+2n−2)\frac{n}{2}(2x + 2n - 2)).
Ardışık tek sayıların toplamını ifade etmek için.
2
Verilen kısıtlamaları denkleme dök.
Toplam S=1720S = 1720. Küçük terim x=3n+7x = 3n + 7. Toplam formülünde yerine koyarsak: 1720=n(3n+7)+n(n−1)1720 = n(3n+7) + n(n-1).
Sorudaki sözel ilişkileri matematiksel eşitliğe çevirmek için.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.
1720=3n2+7n+n2−n⇒4n2+6n−1720=01720 = 3n^2 + 7n + n^2 - n \Rightarrow 4n^2 + 6n - 1720 = 0. Sadeleştirirsek (22'ye böl): 2n2+3n−860=02n^2 + 3n - 860 = 0. Çarpanlarına ayırırsak (n−20)(2n+43)=0(n-20)(2n+43)=0. Buradan n=20n=20 (bina sayısı pozitif olmalı).
Bina sayısını (nn) bulmak için.
4
En küçük ve en büyük kapı numaralarını hesapla.
En küçük numara x=3(20)+7=67x = 3(20) + 7 = 67. En büyük numara (son terim) = x+2(n−1)=67+2(19)=67+38=105x + 2(n-1) = 67 + 2(19) = 67 + 38 = 105.
İstenen sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına veya aritmetik dizi toplam formülüne eşittir. Bu soruda iki bilinmeyenli (nn ve xx) bir denklem sistemi, tek bir değişken (nn) üzerinden modellenerek çözülmüştür.

Hints

1
Bina sayısına nn, en küçük kapı numarasına xx diyerek bir denklem sistemi kurmayı deneyin. Binaların 'ardışık tek sayı' olduğunu unutmayın.
2
Ardışık tek sayıların toplamı formülünü (S=n⋅x+n(n−1)S = n \cdot x + n(n-1)) kullanarak ve x=3n+7x = 3n + 7 eşitliğini yerine koyarak nn'e bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3
2n2+3n−860=02n^2 + 3n - 860 = 0 denklemini çözerek nn değerini bulun. Sonrasında en büyük numarayı bulmak için x+2(n−1)x + 2(n-1) işlemini yapın.

Practice More

Ardışık çift sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisi üzerine kurulu benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Toplam (17201720) ile bina sayısı (nn) arasındaki ilişkiyi düşünün. Ortalama değer 1720n\frac{1720}{n} bir tam sayıdır (veya tam sayıya çok yakındır). nn değeri 2020 civarında denendiğinde, ortalama 8686 olur. Ortanca 8686 ise (çift sayıda terim olduğu için ortadaki iki sayının ortası), sayılar ...85,87......85, 87... şeklinde gider. Buradan n=20n=20 olduğu doğrulanabilir.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic