Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri
Gerçel sayılar kümesi R\mathbb{R} üzerinde AA ve BB kümeleri,
A={x∈R∣∣x−1∣≤4} A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| \le 4 \}
B={x∈R∣x>2} B = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2 \}
şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, A∖B′A \setminus B' kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (2,5](2, 5]Answer
  2. B
    [2,5][2, 5]
  3. C
    [−3,2][-3, 2]
  4. D
    (−3,2)(-3, 2)
  5. E
    [2,5)[2, 5)

Answer

A kümesinden B'nin tümleyeni çıkarıldığında elde edilen aralık (2,5](2, 5] olur.
Öncelikle mutlak değer eşitsizliği çözülerek A=[−3,5]A=[-3, 5] bulunur. Daha sonra BB kümesinin tümleyeni alınarak B′=(−∞,2]B'=(-\infty, 2] elde edilir. Son adımda AA kümesinden B′B' kümesi çıkarılır. 22 noktası çıkarılan kümeye dahil olduğu için sonuçta hariç tutulur, 55 noktası çıkarılan kümede olmadığı için dahil edilir. Sonuç (2,5](2, 5] aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1
A kümesini aralık gösterimiyle ifade et.
∣x−1∣≤4  ⟹  −4≤x−1≤4  ⟹  −3≤x≤5|x - 1| \le 4 \implies -4 \le x - 1 \le 4 \implies -3 \le x \le 5. Yani A=[−3,5]A = [-3, 5].
Mutlak değerli eşitsizlik çözülerek A kümesinin sınırları bulunur.
2
B kümesinin tümleyenini (B′B') bul.
B=(2,∞)B = (2, \infty) olduğuna göre, B′=(−∞,2]B' = (-\infty, 2] olur.
2'den büyük sayıların tümleyeni, 2 ve 2'den küçük sayılardır.
3
A∖B′A \setminus B' fark kümesini hesapla.
[−3,5][-3, 5] aralığından (−∞,2](-\infty, 2] aralığını çıkarırsak geriye 2'den büyük, 5'e eşit veya küçük sayılar kalır.
2 sayısı B′B' kümesine dahildir, bu yüzden fark kümesinden atılır (açık parantez). 5 sayısı B′B' kümesinde yoktur, kalır (kapalı parantez).

Key Concept

Kümelerde Fark ve Tümleme

Hints

1
Önce A kümesinin aralık gösterimini bulunuz (−a≤x≤a-a \le x \le a kuralını kullanın).
2
B kümesi x>2x > 2 olduğuna göre, B'nin tümleyeni (B′B') 2 ve 2'den küçük sayıları kapsar.
3
[−3,5][-3, 5] aralığından 2 ve 2'den küçük sayıları çıkarırsanız, alt sınırınız 2 olur (dahil değil).

Practice More

Benzer mantıkta, (A∪B)′(A \cup B)' işlemini gerektiren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizerek A kümesini ve B' kümesini farklı renklerle işaretleyip, A'nın B' ile örtüşmeyen kısmını görsel olarak tespit edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic