Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Alan

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] olduğu verilmiştir. ∣AB∣=9|AB| = 9 cm ve ∣BC∣=12|BC| = 12 cm'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi GG noktası olduğuna göre, GBCGBC üçgensel bölgesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    9
  2. 18Answer
  3. C
    27
  4. D
    36
  5. E
    54

Answer

GBCGBC üçgensel bölgesinin alanı 18 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Dik üçgenin alanı hesaplandığında 54 cm2\text{cm}^2 bulunur. Ağırlık merkezi (GG), üçgenin köşeleriyle birleştirildiğinde oluşan üç üçgenin (GAB,GBC,GACGAB, GBC, GAC) alanları birbirine eşit ve toplam alanın üçte biridir. Bu nedenle 54 sayısının üçe bölünmesiyle elde edilen 18 sonucu doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC dik üçgeninin toplam alanını hesapla.
Alan (ABC)=9×122=54 cm2(ABC) = \frac{9 \times 12}{2} = 54 \text{ cm}^2
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.
2
Ağırlık merkezi (GG) ile alan arasındaki ilişkiyi kullan.
Alan (GAB)=Alan(GBC)=Alan(GAC)=Alan(ABC)3(GAB) = \text{Alan}(GBC) = \text{Alan}(GAC) = \frac{\text{Alan}(ABC)}{3}
Bir üçgenin ağırlık merkezi, köşelerle birleştirildiğinde üçgeni alanları eşit üç bölgeye ayırır.
3
GBCGBC bölgesinin alanını hesapla.
Alan (GBC)=543=18 cm2(GBC) = \frac{54}{3} = 18 \text{ cm}^2
Toplam alanın üçte biri alınarak istenen bölgenin alanına ulaşılır.

Key Concept

Üçgende Alan ve Ağırlık Merkezi İlişkisi

Hints

1
Önce ABCABC dik üçgeninin toplam alanını bulmayı deneyin.
2
Bir üçgende ağırlık merkezinin, alanı nasıl paylaştırdığını hatırlayın; köşelere çekilen doğrular alanı kaç parçaya böler?
3
GG noktası ağırlık merkezi ise Alan (GBC)=13Alan(ABC)(GBC) = \frac{1}{3} \text{Alan}(ABC) eşitliğini kullanabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir soruda ağırlık merkezi yerine iç teğet çemberin merkezini kullanarak alan parçalama özelliklerini çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, ağırlık merkezinin tabana olan uzaklığı, o tabana ait yüksekliğin üçte biridir. BCBC tabanına ait yükseklik ∣AB∣=9|AB|=9 cm olduğundan, GG noktasının BCBC kenarına uzaklığı (yüksekliği) 9/3=39/3 = 3 cm olur. Buradan Alan (GBC)=(12×3)/2=18 cm2(GBC) = (12 \times 3) / 2 = 18 \text{ cm}^2 bulunur.
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic