Examkin

Question

Difficulty: HardKatı Cisimler

Yarıçapı 262\sqrt{6} cm olan içi dolu bir yarım kürenin içine, bir yüzü yarım kürenin taban düzlemi üzerinde olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli küpün hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

  1. A
    16216\sqrt{2}
  2. B
    3232
  3. C
    4848
  4. 6464Answer
  5. E
    48648\sqrt{6}

Answer

Küpün hacmi 64 cm³'tür.
Yarım kürenin merkezinden küpün üst köşesine çizilen doğru parçası kürenin yarıçapıdır (RR). Bu yarıçap, küpün yüksekliği (aa) ve taban köşegeninin yarısı (a22\frac{a\sqrt{2}}{2}) ile bir dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısı (R2=a2+(a22)2R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2) kurularak küpün bir kenarı a=4a=4 cm bulunur. Hacim ise a3=64a^3 = 64 cm³ olur.

Step-by-Step Solution

1
Problemi modelleyin ve değişkenleri tanımlayın.
Küpün bir ayrıtına aa diyelim. Küpün tabanı yarım kürenin taban merkezinde çakışıktır. Küpün üst köşeleri yarım kürenin yüzeyine değer.
En büyük hacimli küp için köşelerin küre yüzeyine temas etmesi gerekir.
2
Yarıçap, yükseklik ve taban yarıçapı arasındaki dik üçgen bağıntısını kurun.
Merkezden küpün üst köşesine çizilen yarıçap RR'dir. Dik üçgenin dik kenarları: küpün yüksekliği (aa) ve taban merkezinden köşeye olan yatay uzaklık (yüzey köşegeninin yarısı: a22\frac{a\sqrt{2}}{2}).
Bağıntı: R2=a2+(a22)2R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2.
Pisagor bağıntısı kullanılarak aa ile RR arasındaki ilişki bulunur.
3
Denklemi çözerek küpün bir ayrıtını (aa) bulun.
R=26R = 2\sqrt{6} ise R2=24R^2 = 24.
24=a2+2a24=a2+a22=3a2224 = a^2 + \frac{2a^2}{4} = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}.
48=3a2⇒a2=16⇒a=448 = 3a^2 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 cm.
Hacim hesabı için kenar uzunluğu gereklidir.
4
Küpün hacmini hesaplayın.
V=a3=43=64V = a^3 = 4^3 = 64 cm3\text{cm}^3.
Küpün hacim formülü V=a3V = a^3 tür.

Key Concept

Küre içine yerleştirilen cisimlerde Pisagor bağıntısı ile yarıçap ve kenar ilişkisinin kurulması.

Hints

1
Küpün tabanının yarım kürenin dairesel tabanı üzerinde olduğuna dikkat edin. Kürenin merkezi ile küpün taban merkezi aynı noktadır.
2
Kürenin merkezinden, küpün yarım küre yüzeyine değen üst köşelerinden birine bir doğru çizin. Bu doğrunun uzunluğu yarıçaptır (RR). Oluşan dik üçgeni görmeye çalışın.
3
Oluşan dik üçgenin dik kenarları: küpün yüksekliği (aa) ve küpün taban köşegeninin yarısıdır. Pisagor bağıntısını R2=a2+(a22)2R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 şeklinde kurun.

Practice More

Tam bir küre içine yerleştirilen en büyük hacimli küpün hacmini soran bir problem çözerek simetri farkını inceleyin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic