Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 16\pi cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutu… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Taban yarıçapı $3$ cm ve yüksekliği $16\pi$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun taban çevresi üzerindeki $A$ noktasında bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden iki tam tur atarak, üst tabanda $A$ noktasının tam düşey hizasında bulunan $B$ noktasına en kısa yoldan gitmek istiyor. Buna göre, karıncanın alacağı yol en az kaç cm'dir?

A
$15\pi$
$20\pi$ Answer
C
$25\pi$
D
$28\pi$
E
$32\pi$

Answer

Karıncanın alacağı en kısa yol

20\pi

cm'dir.

Karınca silindir yüzeyinde hareket ettiğinde, en kısa yolu bulmak için silindirin yanal yüzeyi düz bir dikdörtgen gibi açılır. Karınca 2 tam tur attığı için, bu dikdörtgenlerden yan yana iki tane varmış gibi düşünülür. Böylece toplam yatay yol, taban çevresinin 2 katı (

2 \times 2\pi r = 12\pi

) olur. Dikey yol ise silindirin yüksekliğidir (

16\pi

). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (

12\pi - 16\pi - 20\pi

) uygulanarak en kısa yol

20\pi

bulunur.

Step-by-Step Solution

Silindirin taban çevresini hesapla.

Çevre

= 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi

cm.

Silindirin yanal yüzeyi açıldığında genişliği çevre kadar olacaktır.

Karıncanın 2 tam tur atması nedeniyle toplam yatay mesafeyi belirle.

Yatay Yol

= 2 \times \text{Çevre} = 2 \times 6\pi = 12\pi

cm.

Her tur için bir çevre uzunluğu kadar yatay mesafe kat edilir.

Oluşan dik üçgenin dik kenarlarını belirle ve Pisagor bağıntısını uygula.

Dik kenarlar:

12\pi

16\pi

. Hipotenüs (

x

) için:

x^2 = (12\pi)^2 + (16\pi)^2

En kısa yol, açınım düzlemindeki doğrusal yoldur (hipotenüs).

Hipotenüs uzunluğunu hesapla (veya özel üçgeni fark et).

x = \sqrt{144\pi^2 + 256\pi^2} = \sqrt{400\pi^2} = 20\pi

cm. (3-4-5 üçgeninin

4\pi

katı olan 12-16-20 üçgeni).

İşlemin sonucunu bulmak.

Key Concept

Silindir yüzeyinde en kısa yol problemleri, silindirin açınımı yapılarak düzlemde Pisagor bağıntısı ile çözülür.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic